Dada a equação geral da hipérbole 9x^2-4y^2-18x-16y-43=0 encontre os focos

Anexos:

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos concluir que os focos desta hipérbole são:

$\boxed{\bf F_1(1- \sqrt{13} ,2) \: \: e \: \: F_2(1 + \sqrt{13} ,2) }$

Temos a seguinte função de uma hipérbole:

$\boxed{\bf 9x {}^{2} - 4y {}^{2} - 18x - 16y - 43 = 0}$

Para iniciar o cálculo, vamos primeiramente estebelecer alguns passos para a resolução.

Roteiro:

$\begin{cases} 1) \: fatorar \\ 2) \: equac \tilde{a}o \: na \: forma \: can \hat{o}nica \\ 3) \: comparac \tilde{a}o \: com \: o \: formato \:padr \tilde{a}o \end{cases}$

Primeiro temos que utilizar-se da fatoração para que aí possamos encontrar a equação na sua forma canônica.

Os
de fatoração que utilizaremos são a da redução em produtos notáveis, juntamente com o método da soma zero e a evidenciação.

De produto notáveis, utilizaremos basicamente o quadrado da diferença e a soma da diferença.

$\boxed{(a - b) {}^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} } \boxed{(a +b) {}^{2} = a {}^{2} + 2ab + b {}^{2} }$

Organizando a expressão da cônica:

$9x {}^{2} - 18x - 4y {}^{2} - 16y - 43 = 0 \: \: \: \: \\ 9x {}^{2} - 9.2x - 4y {}^{2} - 4.4y - 43 = 0 \: \:$

Observe que podemos colocar em evidência os termos 4 e 9, já que alguns termos possuem essas números em comum.

$9.(x {}^{2} - 2x) - 4.(y {}^{2} - 4y) - 43 = 0 \\$

Os termos entre parênteses se assemelham ao quadrado da diferença, só que de forma incompleta. Utilizando o método da soma zero, ficamos com:

$\begin{cases}9.(x {}^{2} - 2x + 1) - 9 - 4.(y {}^{2} + 4y + 4) + 16 - 43 = 0 \\ 9.(x - 1) {}^{2} - 9 - 4.(y + 2) {}^{2} + 16 - 43 = 0 \\ 9.(x - 1) {}^{2} - 4.(y + 2) {}^{2} = - 16 + 43 +9 \\ 9.(x - 1) {}^{2} - 4.(y + 2) {}^{2} = 36 \end{cases}$

Como uma hipérbole em sua forma padrão é estruturada da seguinte forma:

$\: \: \boxed{ \underbrace{\frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}_{eixo \: real \: parelo \: ao \: eixo \: x} \: \: ou \: \: \underbrace{\frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } = 1} _{eixo \: real \: paralelo \: ao \: eixo \: y}}$

Vamos então dividir toda a nossa equação pelo termo que se encontra após a igualdade.

$\frac{9.(x - 1) {}^{2} }{36} - \frac{4.(y + 2) {}^{2} }{36} = \frac{36}{36} \\ \\ \frac{(x - 1) {}^{2} }{4} - \frac{(y + 2) {}^{2} }{9} = 1$

Ou seja, temos uma hipérbole de centro $\bf C(1,-2)$ e eixo real paralelo ao eixo x. Sabendo disso, vamos agora encontrar os valores do termos $\bf a,\: b \:e\: c$ através de comparação.

$\begin{cases}a {}^{2} = 4 \\ a = \sqrt{4} \\ a = 2 \end{cases} \: \: \begin{cases} b {}^{2} = 9 \\ b = \sqrt{9} \\ b = 3 \end{cases} \: \: \begin{cases} c {}^{2} = 9 {}^{2} + 4 {}^{2} \\ c {}^{2} = 13 \\ c = \sqrt{13} \end{cases}$