Question

dada a equação do hiperboloide de uma folha x²/4 + y²/4 + z²/9 = 1, determine o raio do circulo no plano z=3

Answer 1

Vamos là.

correção:

a equação do hiperboloide é:

x²/4 + y²/4 - z²/9 = 1

determine o raio do circulo no plano z=3

x²/4 + y²/4 = 2

x² + y² = 8

raio r = √8

Answer 2

O raio da circunferência que está inserida no plano z=3 do hiperboloide é zero.

Hiperboloide

• Superfície tridimencional gerada a partir da rotação de uma hiperbole.
• Visualmente, parece um cilindro com a parte mediana afinada.
• A equação geral  do hiperboloide é: ± x²/a² ± y²/b² ± z²/c² = 1, onde a, b e c são parâmetros e x, y e z são as coordenadas cartesianas.

Circunferência

• Forma bidimencional.
• Qualquer plano perpendicular a reta de revolução de um hiperboloide contem uma circunferência.
• A equação geral da circunferência é: (x-a)² + (y-b)² = r², onde (a,b) é a coordenada do centro da circunferência, (x,y) são as coordenadas cartesianas e r é o raio da circunferência.

Resolução passo-a-passo

Para encontrar a equação da circunferência no plano z=3 do hiperboloide x²/4 + y²/4 + z²/9 = 1, é necessário substituir z=3 na equação do hiperboloide:

x²/4 + y²/4 + z²/9 = 1

x²/4 + y²/4 + 3²/9 = 1

x²/4 + y²/4 + 9/9 = 1

x²/4 + y²/4 + 1 = 1

Subtraindo 1 dos dois lados da igualdade:

x²/4 + y²/4 = 0

Multiplicando todos os termos por 4 para remover as frações da equação:

4*x²/4 + 4*y²/4 = 4*0

x² + y² = 0

A equação da circunferência contida no hiperboloide no plano z=3 é x² + y² = 0.

Comparando a equação obtida com a equação geral da circunferência ((x-a)² + (y-b)² = r²), vemos que a=0, b=0 e r=0. Assim, o centro da circunferência está na origem (a,b) = (0,0) e o raio do círculo é zero.

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