Question

Em uma urna contém 6 bolas brancas, 4 amarelas. Três são retiradas
simultaneamente. Qual a probabilidade de serem:
a) Todas brancas
b) Exatamente uma branca
c) Ao menos uma amarela

Answer 1

Primeiramente calculamos quantas combinações de 3 bolas são possíveis com estas 10 bolas:

$C_{10,3}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2}=\frac{720}{6}=120$

Sabemos agora que existem 120 combinações possíveis.

a) As combinações com todas as brancas, serão 3 bolas selecionadas dentre as 6 brancas:

$C_{6,3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2}=\frac{120}{6}=20$

20 das 120 combinações possíveis tem todas as bolas brancas, logo:

$p(todas\ brancas)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}=0,1667=16,67\%$

b) Se tiver exatamente uma branca, então vai ter duas amarelas. Temos 6 formas de escolher essa bola branca, vamos calcular de quantas forma podemos escolher as bolas amarelas:

$C_{4,2}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=6$

A bola branca pode ser escolhida de 6 formas e as bolas amarelas podem ser escolhidas de 6 formas também. Cada escolha de bola branca forma uma combinação diferente com cada escolha de bolas amarelas, então 36 das 120 combinações possíveis tem exatamente uma bola branca:

$p(exatamente\ uma\ branca)=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}=0,3=30\%$

c) As combinações que tem ao menos uma bola amarela, são as combinações que NÃO tem todas as bolas brancas. Já calculamos acima que 20 combinações possuem todas as bolas brancas. Se temos 120 combinações no total, concluímos que 100 combinações possuem ao menos uma bola amarela.

$p(ao\ menos\ uma\ amarela)=\frac{100}{120}=\frac{5}{6}=0,8333=83,33\%$