Matéria: Matemática
Autor: candidajoao99
Perguntado 3 anos atrás

Como fazer o gráfico dessa função quadrática f(x)=-x²+2x+3

Respostas

respondido por: CyberKirito

Após a realização dos cálculos, podemos concluir que o gráfico da função é a que está representada no anexo.

Função quadrática

Chama-se função quadrática a toda função $\sf f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por

$\sf f(x)=ax^2+bx+c$ onde $\sf a\ne0$ .

o gráfico de uma função quadrática é uma curva que chamamos de parábola. A concavidade da parábola depende do sinal do termo a

assim:

$\sf a>0\longrightarrow$ concavidade para cima

$\sf a<0\longrightarrow$ concavidade para baixo

A função quadrática apresenta máximo ou mínimo nas coordenadas do eixo de simetria ou vértice . As coordenadas do vértice é o ponto

$\sf V(x_V,y_V)$ tal que $\sf x_V=-\dfrac{b}{2a}$ e

$\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}$

Em geral, se $\sf a>0$ temos ponto de mínimo e valor mínimo

e se $\sf a<0$ temos ponto de máximo e valor máximo.

As raízes ou zeros da função podem ser definidos como os valores de x que tornam a imagem nula. Para encontrar as raízes basta fazer f(x)=0 e resolver a equação do 2º grau proposta.

As raízes dependem do sinal do discriminante $\sf\Delta$

e podemos fazer a seguinte consideração:

$\sf \Delta>0\longrightarrow$ a função tem duas raízes reais diferentes e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

$\sf\Delta=0\longrightarrow$ a função possui uma única raíz real e a parábola tangencia o eixo x.

$\sf\Delta<0$ a função não possui raízes e parábola não intercepta o eixo x.

A parábola também tem intersecção com o eixo y e esta passa no termo independente da função.

Vamos a resolução da questão

Intersecção do gráfico com o eixo x:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf -x^2+2x+3=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot3\\\sf\Delta=4+12\\\sf\Delta=16\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot(-1)}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm4}{-2}\begin{cases}\sf x_1=\dfrac{-2+4}{-2}=-\dfrac{2}{2}=-1\\\\\sf x=\dfrac{-2-4}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3\end{cases}\\\\\sf A(-1,0)~~B(3,0)\end{array}}$

Intersecção do gráfico com o eixo y:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(0)=0^2+2\cdot0+3\\\sf f(0)=3\\\sf C(0,3)\end{array}}$

Coordenadas do vértice:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf x_V=-\dfrac{b}{2a}\\\\\sf x_V=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}\\\\\sf x_V=1\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\\\sf y_V=-\dfrac{16}{4\cdot(-1)}\\\\\sf y_V=4\\\sf V(1,4)\end{array}}$

perceba que $\sf a=-1<0$ isso significa que a concavidade da parábola é para baixo. Unindo todos os pontos calculados anteriomente teremos o gráfico anexo.