Question

1. Resolva as equa ̧c ̃oes abaixo:
(A) 1−3x
2 +
1−x
3 = x + 1.

(B) 1
3 −
x+1
2 = 7.

(C) 1
5 +
2−3x
2 =
x+2
4 −
1
3
.

(D) 3x+7
2 = 1 −
2x
5
.
2. Resolva as inequa ̧c ̃oes abaixo:
(A) 3x − 4 ≤
1−x
7
.
(B) x(x − 1) > 0.
(C) x(x + 1) < 0.
(D) x
x−1 > 0.
(E) x
2
(3x − 4) ≥ 0.
(F) x
2 − 2x + 1 < 0.
3. Simplifique as express ̃oes abaixo:
(A) (a + b)

2 + (a − b)
2
.

(B) (x+h)
2−x
2
h
.

4. Resolva as equa ̧c ̃oes abaixo:
(A) √
x − 2 = 1 − x.
(B) √
2x + 1 = 5.
(C) x−1
x =
2x+5
2
.
(D) √
x
2 + x + 5 = 2.

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Answer 1

Com os estudos sobre as equações encontramos as respostas dos exercícios e estão logo abaixo.

Equações com denominadores

Quando aparecem frações em uma equação, deve-se obter outra equação equivalente eliminando os denominadores, e seguir o método geral de resolução de equações.

1°)

a)

• $\frac{1-3x}{2}+\frac{1-x}{3}=x+1$

• $3\left(-3x+1\right)+2\left(-x+1\right)=x\cdot \:6+6$

• $-11x+5=x\cdot \:6+6$

• $-11x=6x+1$

• $-17x=1$

• $x=-\frac{1}{17}$

b)

• $\frac{1}{3}-\frac{x+1}{2}=7$

• $-\frac{x+1}{2}=\frac{20}{3}$

• $2\left(-\frac{x+1}{2}\right)=\frac{20\cdot \:2}{3}$

• $-x-1+1=\frac{40}{3}+1$

• $x=-\frac{43}{3}$

c)

• $\frac{1}{5}+\frac{2-3x}{2}=\frac{x+2}{4}-\frac{1}{3}$

• $12+30\left(-3x+2\right)=15\left(x+2\right)-20\\\\x=\frac{62}{105}$

d)

• $\frac{3x+7}{2}=1-\frac{2x}{5}\\\\5\left(3x+7\right)=10-4x\\\\x=-\frac{25}{19}$

Inequação produto e inequação quociente

Chama-se inequação produto e inequação quociente toda aquela que pode ser apresentada em uma das formas abaixo.

• $\begin{cases}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) > 0&\\ f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) < 0&\\ f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\ne 0&\end{cases}$

• $\begin{cases}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\ge 0&\\ f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\le 0&\\ &\end{cases}$

• $\begin{cases}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} > 0&\\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} < 0&\\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ne 0&\end{cases}$

• $\begin{cases}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge 0&\\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le 0&\\ &\end{cases}$

2°)a)

• $x-4\le \frac{1-x}{7}\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x\le \frac{29}{22}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:x\le \:1.31818\dots \\ \mathrm{Notacao\:intervalo}&\:(-\infty \:,\:\frac{29}{22}]\end{bmatrix}$

b)

• $x\left(x-1\right) > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < 0\quad \mathrm{or}\quad \:x > 1\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:0\right)\cup \left(1,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

c)

• $x\left(x-1\right) < 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:0 < x < 1\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(0,\:1\right)\end{bmatrix}$

d)

• $\frac{x}{x-1} > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < 0\quad \mathrm{or}\quad \:x > 1\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:0\right)\cup \left(1,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

e)

• $x^2\left(3x-4\right)\ge \:0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x=0\quad \mathrm{or}\quad \:x\ge \frac{4}{3}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:x=0\quad \mathrm{or}\quad \:x\ge \:1.33333\dots \\ \mathrm{Notacao\:intervalo}&\:x=0\cup \:[\frac{4}{3},\:\infty \:)\end{bmatrix}$

f)

• $\left(x-1\right)^2 < 0\\\\\mathrm{Se\:n\:\:par,\:}u^n\:\ge \:0\:\mathrm{\:para\:todo}\:u\\\\\mathrm{Sem\:solucao\:para}\:x\in \mathbb{R}$

Igualdades notáveis

• Quando de uma soma: É igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes, o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo:$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

• Quadrado de uma diferença: É igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes, o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo:$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

• Produto de uma soma por uma diferença: É igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo:$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$

3°)

a)

$\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=a^2+2ab+b^2+\left(a-b\right)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\\\\=2a^2+b^2+b^2\\\\=2a^2+2b^2$

b)

$\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}\\\\=2x+h$

Equação irracional

É a que possui incógnita dentro de um radical, ou seja, a incógnita é o radicando. A equação irracional pode ter qualquer índice na raiz, como a raiz cúbica, raiz quarta e assim sucessivamente, mas a mais comum é a raiz quadrada.

Para encontrar as soluções de uma equação irracional, isolamos o radical e utilizamos potenciação para que seja possível eliminar a raiz e, assim, transformar a inequação que era irracional em racional, já que conhecemos as técnicas para resolução

4°)

a)

• $\sqrt{x-2}=1-x\\\\x-2=1-2x+x^2\\\\\mathrm{Sem\:solucao\:para}\:x\in \mathbb{R}$

b)

• $\sqrt{2x+1}=5\\\\2x+1=25\\\\x=12$

c)

• $\frac{x-1}{x}=\frac{2x+5}{2}\\\\\left(x-1\right)\cdot \:2=x\left(2x+5\right)\\\\x=-\frac{3}{4}+i\frac{\sqrt{7}}{4},\:x=-\frac{3}{4}-i\frac{\sqrt{7}}{4}$

d)

• $\sqrt{x^2+x+5}=2\\\\x^2+x+5=4\\\\\mathrm{Sem\:solucao\:para}\:x\in \mathbb{R}$

Saiba mais sobre equações:https://brainly.com.br/tarefa/48853584

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