Question

Um pesquisador de educação matemática realizou uma série de experimentos para medir a eficiência de estudo, em %, de seus alunos, durante algumas horas de estudo diário na disciplina de Cálculo III. O pesquisador apontou que a eficiência é adequadamente modelada por uma função do tempo, cuja taxa de variação é expressa por dE/dt = 54 – 18t, em que E é a eficiência do estudo, cujo valor está no intervalo [0, 100]%, e t é o tempo, em horas. O pesquisador afirmou que para a turma analisada, a eficiência era nula em t = 0.
Nessas condições, resolva os itens abaixo:

a) escreva o PVI que descreve a situação e o resolva.
b) qual o domínio da função solução do item (a)?
c) qual a eficiência, em 2 horas de estudo?
d) qual a eficiência máxima de estudo? E quando ocorre?
e) o que acontece com a eficiência de estudo a medida em que o tempo transcorre dentro do domínio da função (domínio obtido em (b))? Justifique seus argumentos apresentando o gráfico da função solução.

Answer 1

Resposta:

a) Resolvamos a equação diferencial do problema:

$\frac{dE}{dt} = 54 - 18t\\\\dE = (54 - 18t)\,dt\\\\\int dE = \int {(54 - 18t)} \, \,dt\\\\E = 54t - 9t^2 + C$

Haja vista que $E = 0$ para $t = 0$, a constante de integração $C$ é nula. Portanto, a função que representa o modelo desenvolvido pelo pesquisador é a seguinte:

$E(t) = 54t - 9t^2.$

b) O valor de $E$ varia de 0 a 100%. Logo, o domínio da função será composto por todos os valores de $t$ para os quais $0\leq E\leq 100$. Resolvamos esse sistema de inequações:

$i)\,\,E \geq 0\\\\54t - 9t^2 \geq 0\\\\-9(t)(t-6) \geq 0\\\\t(t-6) \leq 0\\\\S_i = 0 \leq t\leq 6.$

$ii)\,\,E \leq 100\\\\54t - 9t^2 \leq 100\\\\-9t^2 + 54t - 100 \leq 0\\\\S_{ii} = R.$

$D$ = $S_i$ ∩ $S_{ii}$ = {$t$ ∈ ℝ | $0 \leq t \leq 6$}.

c) Calculemos o valor de E(2):

$E(2) = 54(2) - 9(2)^2$

$E(2)$ = $72$%.

d) A eficiência máxima ocorre quando dE/dt = 0. Calculemo-la:

$\frac{dE}{dt}=0\\\\ 54 - 18t = 0\\\\18t = 54\\\\t = \frac{54}{18} = 3\,\,h.$

$E(3) = 54(3) - 9(3)^2$

$E(3)$ = $81$%.

e) O gráfico da função $E(t) = 54t - 9t^2$, definida em $[0, 6]$, é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

A eficiência começa nula para $t = 0$ e vai crescendo (a taxas decrescentes, pois $\frac{dE}{dt}$ é uma função decrescente em $D$) até atingir seu valor máximo quando $t = 3\,\,h,$ que é de $E(3)$ = $81$%.

Depois de três horas, o valor de $E$ passa a decair, a taxas cada vez maiores (em módulo), até se tornar novamente nulo em $t = 6\,\,h.$