Question

O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q2+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos inferir que o lucro máximo obtido pela empresa é quando tem-se uma produção de 125 unidades, isto é, $\bf q = 125$, resultando em $\bf L(125) = 50550$.

Temos a seguinte função lucro:

$\: \: \bf L(q) = -4q^2+1000q-12000$

Além deste dado, também nos é fornecido um intervalo que limita a variação da quantidade (q), sendo este dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: 0 \leqslant q \leqslant 180$

Para determinarmos o valor máximo, utilizaremos o teste da derivada em um intervalo absoluto, isto é, encontrar o máximo de uma determinada curva em um dado intervalo.

• Roteiro:

Vamos seguir um roteiro hipotético:

$\begin{cases}1) \: derivada \: da \: func \tilde{a}o\to f'(x)\\ 2) \: pontos \: cr \acute{i}ticos \: \to f'(x) = 0 \\ 3) \: substituir \: os \: extremos \: e \: os \: pontos \: cr \acute{i}ticos \end{cases}$

Tendo feito este roteiro, vamos iniciar de fato.

$L(q) = -4q^2+1000q-12000 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ L'(q) = -2.4q^{2 - 1} +1.1000q {}^{1 - 1} -0.12000.x {}^{0 - 1} \\ L'(q) = -8q +1000 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos a partir dessa derivada, encontrar os pontos críticos, fazendo a igualdade a 0.

$- 8q + 1000 = 0 \: \: \to \: \: 8q = 1000 \\ \\ q = \frac{1000}{8} \: \: \to \: \: q = 125$

Para finalizar, vamos substituir os extremos do intervalo e o ponto crítico na função e analisar o resultado obtido.

$\begin{cases}L(0) = -4.(0)^{2 } +1000.0 {}^{ } -12000 \: \: \to \: \:L(0) = - 12000 \\L(125) = -4.(125)^{2 } +1000. {125}^{ } -12000 \: \to \: L(125) = 50500 \\L(180) = 4.(180)^{2 } +1000. {180}^{ } -12000 \: \to \: L(180) = 38400\end{cases}$

Portanto, podemos afirmar que em x = 125 temos um ponto de máximo, uma vez que:

$\begin{cases}f (x) > 0 \: \: \to \: \: m \acute{a}ximo \\ f(x) < 0 \: \to \: m \acute{i}nimo \end{cases}$

Espero ter ajudado

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