Question

Resolver o sistema
x ≡ 1 ( mod 2)
x ≡ −1 ( mod 3)
x ≡ 4 ( mod 7);​

Answer 1

$x \equiv 1 \pmod 2\\21x \equiv 21 \pmod {42}\\21x - 21 \equiv 0 \pmod {42}$

$x \equiv -1 \pmod 3\\14x \equiv -14 \pmod {42}\\14x + 14 \equiv 0 \pmod {42}$

$x \equiv 4 \pmod 7\\6x \equiv 24 \pmod {42}\\6x - 24 \equiv 0 \pmod {42}$

Como todos são congruentes a 0, mod 42, podemos somá-los e a congruência se mantém:

$(21x - 21) + (14x + 14) + (6x - 24) \equiv 0 \pmod {42}\\41x - 31 \equiv 0 \pmod {42}\\41x - 42x \equiv 31 \pmod {42}\\-x \equiv 31 \pmod {42}\\x \equiv -31 \pmod {42}\\x = 42q - 31$

Com $q$ inteiro.

$x$ pode assumir qualquer número nesse formato e as congruências serão verdadeiras.