Question

Dizemos que ∑▒u_n é absolutamente convergente se a serie de valores
absolutos∑▒〖|u_n | 〗 for convergente.Por outro lado,a serie ∑▒u_n é dita
condicionalmente convergente se ela for convergente mas não for
absolutamente convergente.
Use as informações acima e determine se a serie
∑_(n=2)^∞▒〖(-1)^n 〖log〗_n e〗
É absolutamente convergente,condicionalmente convergente ou divergente.

Answer 1

Resposta:

A série é condicionalmente divergente.

Resolução:

Em uma primeira análise, para determinar se a série é convergente ou divergente, aplicamos o Teste da Série Alternada:

"A série $\[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^na_n\]$ converge quando as seguintes duas condições são satisfeitas:

i. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ e

ii. $|a_{n+1}| \leq |a_n|$."

No caso, temos

i. $log_ne = \dfrac{ln\text{ }e}{ln\text{ }n} = \dfrac{1}{ln\text{ }n} \rightarrow 0$, e

ii.$ln\left(n+1\right) > ln\text{ }n \implies \dfrac{1}{ln\left(n+1\right)} \leq \dfrac{1}{ln\text{ }n}$.

Logo, $\[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n log_ne\]$ é convergente. Entretanto,

$ln\text{ }n < n \implies log_ne = \dfrac{1}{ln\text{ }n} > \dfrac{1}{n}\\\\\\\implies \[ \sum_{n=2}^{\infty} log_ne > \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n}\]$.

É bem sabido que a série harmônica diverge. Logo, $\[ \sum_{n=2}^{\infty} log_ne\]$ diverge, então $\[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n log_ne\]$ é condicionalmente convergente.