Question

calcule a derivada de y=(5x^5+1)(e^x+cos(x))​

Answer 1

Ao derivarmos a função $\dfrac{dy}{dx} ((5x^5+1)\cdot (e^x+Cos(x)))$ Obteremos o seguinte resultado

$\boxed{25x^4 (e^x+Cos(x))+ (5x^5+1)\cdot (e^x-Sen(x))}$

• Mas, como chegamos nesse resultado ?

Temos a seguinte função  $Y=(5x^5+1)\cdot (e^x+Cos(x))$

queremos achar a derivada de função

antes de começarmos vamos lembrar de algumas regras e propriedades das derivadas

• DERIVADA DO PRODUTO

$(f(x)\cdot g(x))'= f(x)'\cdot g(x)+f(x)+g(x)'$

• DERIVADA DA CONSTANTE

$\dfrac{dy}{dx}(N)=0$

• DERIVADA DA POTENCIA

$\dfrac{dy}{dx}(X^N)=N\cdot X^{N-1}$

• DERIVADA DO EULER

$\dfrac{dy}{dx}(E^X)=E^X$

• DERIVADA DO COSSENO

$\dfrac{dy}{dx}(Cos(X))=-Sen(x)$

Tendo tudo isso em mente vamos a questão

$\dfrac{dy}{dx} ((5x^5+1)\cdot (e^x+Cos(x)))$

Aplicando a derivada do produto temos

$\dfrac{dy}{dx} ((5x^5+1)\cdot (e^x+Cos(x)))\\\\\\\dfrac{dy}{dx}((5x^5+1))\cdot (e^x+Cos(x))+ (5x^5+1)\cdot \dfrac{dy}{dx} ((e^x+Cos(x))$

aplicando as derivadas conhecidas temos

$(25x^4+0)\cdot (e^x+Cos(x))+(5x^5+1)\cdot (e^x-Sen(x))\\\\\\\boxed{25x^4 (e^x+Cos(x))+ (5x^5+1)\cdot (e^x-Sen(x))}$

essa é a forma mais simplificada que podemos deixar

Claro podemos aplicar a propriedade distributiva porem ficará menos simplificado

Aplicando a propriedade distributiva

$25x^4 (e^x+Cos(x))+ (5x^5+1)\cdot (e^x-Sen(x))\\\\\\\boxed{25x^4e^x+25x^4Cos(x)+ 5x^5e^x-5x^5Sen(x)+e^x-Sen(x)}$

é mais vantajoso deixar na forma simplificada

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