Question

a soma dos termos de uma p.g.finita é 728. sabendo-se que an = 486 e q = 3 qual o primeiro termo?

Answer 1

O primeiro termo da progressão geométrica finita dada é igual a 2. A partir da fórmula da soma, podemos relacionar algumas informações como: primeiro termo, último termo e o número de termos.

Soma de um Progressão Geométrica Finita

A soma de um p.g. infinita pode ser determinada pela fórmula:

Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)

Em que:

• q é a razão da progressão;
• n é o número de termos da progressão.

• Passo 1: Relacionando os termos:

Podemos escrever o enésimo termo como:

aₙ = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹

728 = a₁ ⋅ 3ⁿ⁻¹

a₁ = 486 / (3ⁿ⁻¹)

• Passo 2: Formula da soma da p.g.

Utilizando a fórmula da soma da progressão geométrica:

Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)

728 = 486 / (3ⁿ⁻¹) × (3ⁿ - 1) / (3 - 1)

728 × 2 = 486 / (3ⁿ⁻¹) × (3ⁿ - 1)

1456 / 486 = 3 - 3¹⁻ⁿ

(1456 / 486) - 3 = 3 ¹⁻ⁿ

-1/243 = (1/3)¹⁻ⁿ

-3⁵ = 3ⁿ⁻¹

5 = n - 1

n = 6

Assim, o primeiro termo será:

a₁ = 486 / (3ⁿ⁻¹)

a₁ = 486 / (3⁶⁻¹)

a₁ = 2

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