Question

Assinale a alternativa que corresponde a serie de Maclaurin ...

Answer 1

Por meio de cálculos e análises, podemos determinar que a resposta é $\boxed{\displaystyle\bf f(x)=\sum ^{\infty} _ {n=0}(-1)^n\dfrac{x^{2n} }{n!}}$

Queremos encontrar a série de Maclaurin da seguinte função:

$\boxed{\bf f(x)=e^{-x^2}}$

Para encontrar a série de Maclaurin de nossa função, devemos primeiro encontrar a série de Taylor desta mesma função, sendo a série de Taylor uma aproximação de funções por meio de uma série de potências ou soma de potências inteiras de polinômios, cuja representação pode ser encontrada como:

$\displaystyle \sum^{\infty} _{n=0} \dfrac{f^{n}(a)}{n!} (x -a)^{n} =f(a) +\dfrac{f'(a)}{1!} (x - a) +\dfrac{f''(a)}{2!} (x - a) +\dfrac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3+ \dots+ \dfrac{f^n(a)}{n!} (x-a)^n+\dots$

Agora lembremos que a série centrada no ponto zero, ou seja, quando a = 0, é chamada de série de Maclaurin, ou seja, a série de Maclaurin é igual a:

$\displaystyle \sum^{\infty} _{n=0} \dfrac{f^{n}(0)}{n!} (x )^{n} =f(0) +\dfrac{f'(0)}{1!} (x ) +\dfrac{f''(0)}{2!} (x ) +\dfrac{f'''(0)}{3!} (x)^3+ \dots+ \dfrac{f^n(0)}{n!} (x)^n+\dots$

Então, para encontrar a série de Maclaurin da função $f(x)= e^{-x^2}$ devemos encontrar as 4 primeiras derivadas desta função e uma vez encontrado o valor de suas derivadas, devemos avaliar esses resultados quando x é igual a 0.

$\begin{array}{c|c}f(x)=e^{-x^2}&f(0)=1\\\\f'(x)= -2e^{-x^2} x&f'(0)=0 \\\\ f''(x)= - 2 \left( -2e^{-x^2}x ^2+ e^{-x^2} \right)&f''(x)= - 2\\\\ f'''(x)=-2\left(-4e^{-x^2}x^3-6 e^{-x^2}x \right)& f'''(0)=0\\\\ f''''(x) = -2\left(-8 e^{-x^2}x^4 +24 e^{-x^2}x^2- 6e^{-x^2}\right)&f''''(0)=12 \end{array}$

Fazendo as 4 primeiras derivadas e avaliando-as em x igual a 0 nos fez chegar a uma conclusão, essa conclusão é que se a n-ésima derivada for ímpar, será igual a 0 e quando n for par, pode ser positiva ou negativa. Podemos ver que nossa soma infinita será igual a:

$e^{-x^2}=1+ \dfrac{0}{1!}x - \dfrac{2}{2!} x^2+\dfrac{0}{3!} x^3+ \dfrac{12}{4!} x^4+\dots$

Vamos empilhar todas as frações que têm numerador igual a 0 e aquelas que não têm numerador igual a 0, então empilhando obtemos:

$e^{-x^2}=\left(1 - \dfrac{2}{2!} x^2+ \dfrac{12}{4!} x^4 + \dots\right)+ \cancel{\left(\dfrac{0}{1!}+\dfrac{0}{3!}+\dfrac{0}{5!} + \dots \right)} ^{0} \\\\\\ e^{-x^2} = 1 - \dfrac{2}{2!} x^2+ \dfrac{12}{4!} x^4 - \dfrac{120}{6!}x^{6} +\dots$

Vamos tentar simplificar nossa expressão, para simplificar nossa expressão vamos fazer ou resolver todos os fatoriais que estão no denominador, lembre-se de que o fatorial de n ou n fatorial é definido em princípio como o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n. Resolvendo os fatoriais temos:

$e^{-x^2} = 1 - \dfrac{ 2}{\not 2\cdot1} x^2+ \dfrac{12}{4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1} x^4 - \dfrac{120}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}x^{6} +\dots\\\\\\ e^{-x^2} = 1 - \dfrac{ 2}{2} x^2+ \dfrac{12}{12\cdot 2 } x^4 - \dfrac{120}{120\cdot 6}x^{6} +\dots\\\\\\ e^{-x^2} = 1 - x^2+ \dfrac{1}{2 } x^4 - \dfrac{1}{ 6}x^{6} +\dots$

Esta série pode ser reescrita pela seguinte lei de formação:

$\boxed{\displaystyle\bf e^{-x^2} =\sum ^{\infty}_{n=0} (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{n!}}$

Para verificar se esta notação está correta podemos realizar os 3 primeiros termos da sequência:

$\displaystyle \sum ^{\infty}_{n=0} (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{n!}=(-1)^0 \dfrac{x^{2\cdot0}}{0!} +(-1)^1 \dfrac{x^{2\cdot1}}{1!} +(-1)^2 \dfrac{x^{2\cdot2}}{2!}+\dots \\ \\ \\ \displaystyle \sum ^{\infty}_{n=0} (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{n!}=1 - {x}^{2} + \dfrac{ {x}^{4} }{2} + \dots$

Podemos ver que os 3 primeiros termos da sequência são bastante idênticos de acordo com nossa soma infinita.

Conclusão: Após os cálculos, chegamos à conclusão de que a alternativa correta que representa a série de Maclaurin da função $f(x)=e^{-x^2}$ é a alternativa 3.