Cálculo George B. Thomas edição 11 volume 2
Capítulo 14.3

Derivadas parciais

5) dada a função

$F(x,y)= (xy-1)^2$

Encontre $\dfrac{\partial F}{\partial X} ~e~\dfrac{\partial F}{\partial Y}$

Respostas

respondido por: Sban1

Ao derivar parcialmente a função obtermos

$\dfrac{\partial F}{\partial X} (xy-1)^2= 2y(xy-1)$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} (xy-1)^2= 2x(xy-1)$

Mas, como chegamos nesse resultado ?

antes de tudo temos que saber o que significa derivadas parciais

Derivadas parciais são usadas quando queremos achar a taxa de variação de uma função a qual possui mais de uma variável

$\dfrac{\partial F}{\partial X}$ significa que vamos derivar a função F com a variável sendo X tratando todas as outra variáveis como constantes

$\dfrac{\partial F}{\partial Y}$ significa que vamos derivar a função F com a variável sendo Y tratando todas as outra variáveis como constantes

Antes de começarmos a resolver o problema é interessante saber algumas regra e propriedades da derivação que irão ser uteis nessa questão

REGRA DA CADEIA EM POTENCIAS

$\dfrac{d}{du} U^n \cdot du$

DERIVADA DA POTENCIA

$\dfrac{d}{dx}(X^N) = N\cdot X^{N-1}$

DERIVADA DA CONSTANTE

$\dfrac{d}{dx}(N) = 0$

com isso em mente vamos a questão

encontrar $\dfrac{\partial F}{\partial X}$ da função

$\dfrac{\partial F}{\partial X} (xy-1)^2$

Bem perceba que temos a seguinte função $(xy-1)^2$ ou seja uma função composta e para facilitar os cálculos podemos aplicar a Famosa regra da cadeia

Vamos chamar $(xy-1)$ de U é derivar e em seguida vamos multiplicar pela derivada parcial de U no caso o DU lembre-se de substituir U pelo valor no final

$U=xy-1$

$\dfrac{\partial F}{\partial X}(xy-1)= y$

Vamos a questão

$\dfrac{\partial F}{\partial X} (xy-1)^2\\\\\\\\\\\dfrac{d}{du}(u)^2\cdot \dfrac{\partial F}{\partial X} (u)$

$2(u)^1\cdot\dfrac{\partial F}{\partial X}(u)$

agora substituirmos U por $xy-1$

$2(xy-1)^1\cdot\dfrac{\partial F}{\partial X}(xy-1)\\\\2(xy-1)\cdot y\\\\\boxed{2y(xy-1)}$

agora vamos encontrar $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} (xy-1)^2\\\\\\\dfrac{d}{du}(u)^2\cdot \dfrac{\partial F}{\partial Y} (u)\\\\\\\boxed{2u\cdot \dfrac{\partial F}{\partial Y} (u)}$