Question

Resolva analiticamente a seguinte equação:

$x^3+x^2+x+1=0\quad \text{, com }\;x\in\mathbb{C}$


Nota: Evite usar a Fórmula Resolvente para Equações do 3º Grau Completas.

Answer 1

x³ + x² + x + 1 = 0

x² . (x + 1) + x + 1 = 0

(x + 1) . (x² + 1) = 0

x + 1 = 0

x = - 1

x² + 1 = 0

x² = - 1

x = ± √(- 1)

x = ± i

x = - i

x = i

S = {1, - i, i}

Answer 2

✅ Após resolver a equação do terceiro grau - equação cúbica -  concluímos que seu conjunto solução é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-1,\,-i,\,i\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do terceiro grau:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0\end{gathered}$

Esta equação pode ser representada em sua forma geral como:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0,\:\:\:\textrm{com}\:a\neq0\end{gathered}$

Observe também que a equação original foi gerada a partir do seguinte polinômio:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} P(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1\end{gathered}$

Para começar, devemos saber que o número total de raízes de toda equação polinomial é sempre igual ao grau do polinômio que a originou. Além disso, sabemos também que toda equação do terceiro grau sempre terá três raízes.

Agora devemos pesquisar as possíveis raízes inteiras da equação. Quando uma equação admite raízes inteiras, essas raízes, possivelmente serão os divisores inteiros do coeficiente de maior grau e/ou os divisores inteiros do termo independente. Nesta equação, o coeficiente de maior grau é o coeficiente de x³ e o termo independente é 1. Então, temos:

               $\Large\begin{cases} D_{\mathbb{Z}}(a) = D_{\mathbb{Z}}(1) = \{-1, 1\}\\D_{\mathbb{Z}}(d) = D_{\mathbb{Z}}(1) = \{-1, 1\}\end{cases}$

Agora devemos testar estas possíveis raízes inteiras.

• Testando x = -1:

         Se "-1" for raiz da equação dada, então, o polinômio que a originou é divisível por x + 1. Então temos:

          $\Large\begin{array}{r|l}x^{3} + x^{2} + x + 1&\kern-5pt\underline{~ x + 1 \quad}\\\underline{-x^{3} - x^{2}~~~~~~~~~~ \,}&x^{2} + 1\\0 + x + 1\\\underline{~-x - 1}\\(0) &\end{array}$

         Como o resto da divisão de "P(x)" por "x + 1" é igual a "0", então -1 de fato é uma das possíveis raízes inteiras da equação. Neste caso, temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = -1\end{gathered}$

Agora devemos encontrar as outras duas raízes. Para isso, devemos calcular as raízes do polinômio quociente "x² + 1". Então temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 1 = 0\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = -1\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm\sqrt{-1}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm i\end{gathered}$

Portanto, as outras duas raízes são complexas e elas são:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = -i\:\:\:e\:\:\:x''' = i\end{gathered}$

✅ Portanto, o conjunto solução desta equação é:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-1,\,-i,\,i\}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Sabendo que uma equação do terceiro grau pode ser montada a partir de suas raízes, então, temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'')\cdot(x - x''') = 0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - (-1))\cdot(x - (-i))\cdot(x - i) = 0\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 1)\cdot(x + i)\cdot(x - i) = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 1)\cdot(x^2 + xi - xi - i^{2} ) = 0\end{gathered}$  

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 1)\cdot(x^{2} - i^{2}) = 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 1)\cdot(x^{2} + 1) =0 \end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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