Question

Determine pelo método de Lagrange o polinômio que interpola os pontos (0,0), (1,-1), (2,0).

Answer 1

Com base no cálculo podemos afirmar que usando o método de Lagrange o polinômio é $\textstyle \sf \sf P_2(x) = x^{2} -2x$.

Forma de Lagrange:

Dados $\textstyle \sf \sf (\: n+1\:)$ pontos distintos $\textstyle \sf \sf x_0, x_1, x_2, \dotsi, x_n$ e $\textstyle \sf \sf y_i = f( x_i)$, na forma de Lagrange o polinômio $\textstyle \sf \sf P_n (x)$ é  obtido de modo que:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ P(x) = L_0 \cdot (x) \cdot f(x_0) +L_1 (x) \cdot f(x_1)+ L_n \cdot f(x_n) } }$

Onde:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ L_i (x) = \dfrac{(x -x_0) \cdot (x-x_1) \dotsi( x- x_{i+1}) \cdot (x - x_n)}{(x_i - x_0) \cdot (x_i - x_1) \dotsi ( x_i - x_{i+1} ) \cdot (x_i - x_n)} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{array}{| c | c |c | c | } \sf x & \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 \\\sf f(x) & \sf 0 & \sf - 1 & \sf 0 \end{array}$

Quando três pontos para interpolar, temos um polinômio de segundo grau.

$\Large \displaystyle \mathsf{ P_2(x) = L_0 \cdot (x)\cdot f(x_0) +L_1 (x) \cdot f(x_1)+ L_2 \cdot f(x_2) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L_0 = \dfrac{(x -x_1) \cdot (x - x_2) }{(x_0- x_1) \cdot (x_0-x_2)} = \dfrac{(x -1) \cdot (x-2)}{(0 - 1) \cdot (0-2)} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L_0 = \dfrac{(x -1) \cdot (x-2)}{( - 1) \cdot (-2)} = \dfrac{x^2 -3x +2}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L_1 = \dfrac{(x -x_0) \cdot (x - x_2) }{(x_1- x_0) \cdot (x_1-x_2)} = \dfrac{(x -0) \cdot (x-2)}{(1 - 0) \cdot (1-2)} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L_1 = \dfrac{(x ) \cdot (x-2)}{( 1) \cdot (-1)} = \dfrac{x^2 -2x }{-1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L_2 = \dfrac{(x -x_0) \cdot ( x - x_1)}{(x_2 -x_0) \cdot (x_2-x_1)} = \dfrac{(x - 0) \cdot (x - 1) }{(2-0) \cdot (2 +1) } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L_2 =\dfrac{(x) \cdot (x - 1) }{(2) \cdot (3) } = \dfrac{x^{2} -x }{6} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ P_2(x) = L_0 \cdot (x)\cdot f(x_0) +L_1 (x) \cdot f(x_1)+ L_2 \cdot f(x_2) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ P_2(x) = \dfrac{x^2-x}{2} \cdot 0 + \dfrac{x^2-2x}{-1} \cdot (-1) + \dfrac{x^2-x}{6} \cdot 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ P_2(x) = 0 + \dfrac{x^2-2x}{1} + 0 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P_2(x) = x^{2} -2x }$

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