Question

A função de Bessel de ordem zero, escrita como

é assim chamada em homenagem ao matemático e astrônomo alemão Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846). Essa função aparece naturalmente no estudo do movimento de planetas, em vários problemas que envolvem fluxo de calor e satisfaz a equação diferencial de coeficientes variáveis xy''+y'+xy=0, que é denominada de equação diferencial de Bessel de ordem zero. ]

Assim, qual o intervalo de convergência da função de Bessel de ordem zero?

Answer 1

O intervalo de convergência da função de Bessel de ordem zero compreende toda a reta real.

Intervalo de convergência de uma EDO

Uma equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea de segunda ordem pode ser escrita, de forma geral

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$

O intervalo de convergência é encontrado quando se avalia a intercessão dos intervalos de continuidade da razão Q(x)/P(x) e R(x)/Q(x). A equação geral de Bessel de ordem m é dada por

$x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0$

Para a EDO de Bessel de ordem zero, basta tomar m=0 e, portanto temos que a equação se resume em:

$x^2y''+xy'+x^2y=0$

Assim temos a seguintes razões a serem avaliadas:

$\frac{Q(x)}{P(x)}=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \,x\neq0\\\frac{R(x)}{P(x)}=\frac{x^2}{x^2}=1,\,x\neq0$

O intervalo de continuidade da primeira razão constitui todos os números reais, exceto o zero, o mesmo é válido para a segunda razão.

Assim, até o momento, o intervalo de convergência é constituído de todos os números reais exceto o zero. Para incluir o zero no intervalo de convergência da EDO, basta notar que quando a EDO de Bessel de ordem zero é avaliada em x=0, a EDO será resolvida, pois

$0^2y''(0)+0y'(0)+0^2y(0)=0\\0=0$

Assim, x=0 é um ponto regular da EDO. Portanto, o intervalo de convergência da EDO de Bessel de ordem zero é dado por todos o números reais.

Para saber mais sobre EDO, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/5056202

#SPJ9