Question

Dado a equação diferencial de primeira ordem y' + 3y = x + , determine o fator integrante para posterior resolução:

Answer 1

O fator integrante desta equação diferencial é a função

$r(x)=e^{3x}$.

Método do fator integrante

O fator integrante é utilizado para solucionar equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1º ordem, independente de ter coeficientes constantes. Assim, considere a seguinte EDO abaixo

$y'+P(x)y=Q(x)$

A ideia do fator integrante é multiplicar os dois lados da equação por uma função r(x) que irá transformar o primeiro lado em uma derivada total

$\frac{d}{dx}\left(\,r(x)y)\,\right)=r(x)y'+r(x)P(x)y\\r'(x)y+r(x)y'=r(x)y'+r(x)P(x)y\\r'(x)y=r(x)P(x)y\\\frac{r'(x)}{r(x)}=P(x)$

A equação obtida é resolvida integrando os dois lados da equação

$\int \frac{dr}{r}=\int P(x)dx\\\ln{r(x)}=\int P(x)dx\\r(x)=e^{\int P(x)dx}$

Esta é a fórmula para descobrir o fator integrante de uma EDO de 1ª ordem. Para o caso em que a EDO é

$y'+3y=x$

Vemos que P(x)=3. Com o uso da fórmula recém obtida para achar o fator integrante

$r(x)=e^{\int 3 dx}\\r(x)=e^{3x}$

Saiba mais sobre fator integrante em: https://brainly.com.br/tarefa/28538124

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