Question

Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função.
a) f (x) = 3x +7
b) g (x) = x^2 +2x
c) f (t) = 2^t
d) h(x) =raiz de x
e) h(t) = −3
f) p(t) = |t|
g) r (s) = cos(2s)
h) g (x) ={x, se x for <=0
{x^2, se x for > 0

Answer 1

Com o estudo sobre domínio e imagem de uma função real de variável real, temos como resposta

• a)$D\left(f\right)\:=\:R,\:Im\left(f\right)\:=\:R$;
• b)$D(g) = R$, $I_m\left(f\right)=[-1,+\infty \:\:)$;
• c)$D(f)=-\infty \: < t < \infty ,Im(f):f\left(t\right) > 0\:$;
• d)$D(h):\:[0,\:\infty \:),Im(D(h))=[0,\:\infty \:)$;
• e)$D\left(h\right)\:=\:R,\:Im\left(h\right)\:=\:-3$;
• f)$D(p)=-\infty \: < t < \infty ,Im(p)=[0,\:\infty \:)$;
• g)$D\left(g\right)=\left(-\infty \:\:,\:\infty \:\:\right),I_m\left(g\right)=\left(-\infty \:\:,\:\infty \:\:\right)$

Função real de variável real

a)f(x) = 3x+7

O domínio de f é o conjunto de todos os números reais x tais que (3x+7) também seja número real. Temos: 3x+7 ∈ IR ⇔ x ∈ IR. Ou seja, (3x+7) é número real para qualquer número real x. Logo, o domínio de f é D(f) = IR.

• Definição de imagem de uma função:$f:x\rightarrow y\Rightarrow I_m\left(f\right)=\left\{f\left(x\right)\in y;\:x\in X\right\}$

Função afim

• $\begin{cases}f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}&\\ x\rightarrow f\left(x\right)=ax+b&\end{cases};a\in \mathbb{R}\:e\:b\in \mathbb{R}$

Quando a = 0

• $f\left(x\right)=0\cdot x+b\Rightarrow f\left(x\right)=b$

• $y=f\left(x\right)\Rightarrow y=b,\forall \in \mathbb{R}$

• $I_m\left(f\right)=\left\{b\right\}$

Quando a≠0

• $y=f\left(x\right)\Rightarrow y=ax+b\\\\\Rightarrow x=\dfrac{y-b}{a}\Rightarrow I_m\left(f\right)=\mathbb{R}$

b)g(x) = x²+2x

A função do 2º grau ou função quadrática é uma função de domínio real, ou seja, qualquer número real pode ser o x, D(g) = IR

Imagem de uma função do 2° grau

$\begin{cases}f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}&\\ x\rightarrow f\left(x\right)=ax^2+bx+c&\end{cases};a\in \mathbb{R}\:e\:a\:\ne 0\:e\:b,c\in \mathbb{R}$

• Quando a > 0

$I_m\left(f\right)=[\dfrac{-\Delta \:}{4a},+\infty \:)$

• Quando a < 0

$I_m\left(f\right)=(-\infty ,\dfrac{-\Delta }{4a}]$

Calculando $-\Delta$:

• $-\Delta =-b^2+4ac=-4+0=-4$

Daí,

• $\dfrac{-\Delta }{4a}=\dfrac{-4}{4}=-1$

Logo,

• $I_m\left(f\right)=[-1,+\infty \:\:)$

c)$f(t)=2^t$

O domínio das funções exponenciais é igual a todos os números reais, uma vez que não temos restrições com os valores que x pode assumir. A imagem de funções exponenciais é igual aos valores acima ou abaixo da assíntota horizontal

• $\mathrm{Dominio\:de\:}\:2^t\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < t < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $\mathrm{Imagem\:de\:}2^t:\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:f\left(t\right) > 0\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(0,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

d)

$h\left(x\right)=\sqrt{x}$

• O domínio de h é o conjunto de todos os números reais x tais que $\sqrt{x}$ também seja número real. Temos  $\sqrt{x}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}\:e\:x\ge 0$. Logo, o domínio de h é $D\left(h\right)=\left\{x\in \mathbb{R};x\ge 0\right\}$.
• No conjunto imagem a imagem da função é sempre um número real positivo, os valores que x pode assumir são sempre positivos e o gráfico é sempre crescente.

e)

Como h(t) sempre vale -3, independentemente do valor de x, seu domínio é D(h) = IR e seu conjunto imagem é Im(h) = -3

f)p(t) = |t|

• $\mathrm{Dominio\:de\:}\:\left|t\right|\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < t < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $\mathrm{Imagem\:de\:}\left|t\right|:\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:f\left(t\right)\ge \:0\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:[0,\:\infty \:)\end{bmatrix}$

g)r(s) = cos(2s)

• $\mathrm{Dominio\:de\:}\:\cos \left(2s\right)\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < x < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $\mathrm{Imagem\:de\:}\cos \left(2s\right):\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-1\le \:f\left(x\right)\le \:1\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left[-1,\:1\right]\end{bmatrix}$

h)

$g\left(x\right)=\begin{cases}x&x\le 0\\ \:x^2&x > \:0\end{cases}$

• $\mathrm{Dominio\:de\:}\:\left\{x:x\le \:0,\:x^2:x > 0\right\}\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < x < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $\mathrm{Imagem\:de\:}\left\{x:x\le \:0,\:x^2:x > 0\right\}:\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < f\left(x\right) < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

Saiba mais sobre domínio e conjunto imagem:https://brainly.com.br/tarefa/53212819

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