Question

18) Sendo z = 2(cos+ i sen ), calcule zª​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a a-ézima potência do referido número complexo na forma trigonométrica é:

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z^{a} = 2^{a}\cdot\left[\cos(a\theta) + i\cdot\sin(a\theta)\right]\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

               $\Large\begin{cases} z = 2(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\\z^{a} = \:?\end{cases}$

Como "a" é a parte real do número complexo na forma algébrica, então vou substituir "a" por "n" em z^n. Desta forma os dados serão escritos como:

                 $\Large\begin{cases} z = 2(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\\z^{n} = \:?\end{cases}$

Sabemos que todo número complexo pode ser dado em sua forma algébrica como:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = a + bi\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que o módulo de um número complexo é dado por:

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rho = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\end{gathered} }$

Para calcularmos...

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} z^{n}\:\:\textrm{com}\:n\in\mathbb{N}\:e\:z\in\mathbb{C}\end{gathered}$

... fica bastante trabalhoso se decidirmos utilizar "z" em sua forma algébrica. Pois, teríamos que desenvolver...

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (a + bi)^{n}\end{gathered}$

... utilizando o binômio de Newton.

Sabendo que todo número complexo pode ser escrito na forma trigonométrica como:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = \rho\cdot(\cos\theta + i\cdot \sin\theta)\end{gathered}$

Então:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} z^{n} = \underbrace{z\cdot z\cdot\:\:\cdots\:\:\cdot z}_{\bf n\:\:vezes}\end{gathered}$

Utilizando a expressão para o produto da forma trigonométrica, temos:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} z^{n} = \underbrace{\rho\cdot\rho\cdot\:\:\cdots\:\:\cdot\rho}_{\bf n\:vezes}\cdot\left[\cos(\underbrace{\theta+ \theta +\cdots+\theta}_{\bf n\:vezes}) + i\cdot\sin(\underbrace{\theta +\theta+\cdots+\theta}_{\bf n\:vezes})\right]\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \rho^{n}\cdot\left[\cos(n\theta) + i\cdot\sin(n\theta)\right]\end{gathered}$

Então, chegamos à primeira fórmula de Moivre, que é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} z^{n} = \rho^{n}\cdot\left[\cos(n\theta) + i\cdot\sin(n\theta)\right]\end{gathered}$

Se na questão original, foi informado que:

                               $\Large\begin{cases} \rho = 2\\a = n\end{cases}$

✅ Então a resposta é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} z^{a} = 2^{a}\left[\cos(a\theta) + i\cdot\sin(a\theta)\right]\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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