Karla é aluna do 1º ano do Ensino Médio e está estudando função quadrática. Ela chegou em casa com uma dúvida sobre uma questão que o professor de matemática colocou no quadro. O pai dela prontificou-se em ajudá-la. O enunciado do problema era: “Dentre todos os retângulos de perímetro igual a 12cm qual é o de maior área?”. O pai de Karla ajudou a resolver o problema e ela encontrou como resposta um quadrilátero de lado, em centímetros, igual a:
a) 12
b) 10
c) 6
d) 5
e) 3
Gabarito alternativa E.
Alguém consegue me explicar com detalhes.
Respostas
Resposta:
. Um quadrado de lado igual a 3 cm
. (opção: e)
Explicação passo a passo:
.
VEJA: dentre todos os retângulos de perímetro igual a K, o de maior
. área é aquele de lado igual a K / 4, ou seja: o de maior área
é um quadrado de lado igual a K / 4.
.
. Como o perímetro do retângulo é igual a 12 cm, temos:
.
. K = 12 cm ==> lado do quadrado = 12 cm / 4
. = 3 cm
. ENTÃO: o de maior área é um quadrado de lado 3 cm (tal ques-
. tão também pode ser resolvida através de uma equação
. de segundo grau)
.
OBS: todo quadrado é um retângulo.
.
. RESOLUÇÃO POR MEIO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
.
. Sejam x e y os lados do retângulo
.
. Perímetro do retângulo = 12 cm
.
. ==> 2 . (x + y) = 12 cm (divide por 2)
. ==> x + y = 6 cm
. ==> y = 6 - x ("esquece" cm)
.
Área (A) do retângulo = x . y (y = 6 - x)
. = x . (6 - x)
. = - x² + 6x
A = - x² + 6x (a expressão da área é uma função de 2º grau da
. forma: ax² + bx + c)
.
TEMOS: a = - 1 (coeficiente de x²), b = 6, c = 0
.
Como a = - 1 < 0 ==> a função tem VALOR MÁXIMO e seu grá-
. fico é uma parábola de concavidade volta-
da para baixo. O MÁXIMO da função ocorre para:
. x = - b / 2a
. = - 6 / 2 . (- 1)
. = - 6 / (- 2)
. = 3 y = 6 - x (x = 3)
. y = 6 - 3
. y = 3
.
ASSIM: para x = 3 e y = 3 o retângulo dado é um quadrado de
. lado medindo 3 cm.
.
(Espero ter colaborado)