Question

Deduza uma equação da elipse de focos f(0,1) e f1(0,-1) e eixo maior 4.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ A equação desta elipse é x²/3 + y²/4 = 1. ✅

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⭐⠀Para realizar este exercício vamos encontrar os semi-eixos e a semi-distância focal.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀⚡⠀Tomados dois pontos quaisquer (chamados focos) temos que uma elipse é o conjunto de pontos os quais o valor para a soma da distância de cada ponto até cada um dos focos é a mesma (✏ experimente fixar dois pregos numa tábua, amarrar um barbante entre eles (maior que a distância entre eles) e forçando uma caneta para fora do barbante traçar uma curva).

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⠀⠀⠀➡️⠀Neste exercício, observando que os focos estão sobre o eixo y, então sabemos que o eixo maior estará também sobre este eixo e, portanto, sua expressão será da forma:

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                       $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf \dfrac{(x - x_0)^2}{b^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{a^2} = 1}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf a }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices A₁ e A₂ (também chamado de semi-eixo maior) - lembrando que pela definição de elipse a soma da distância de qualquer ponto da elipse até o foco 1 com a distância de deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a;

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf b }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices B₁ e B₂ (também chamado de semi-eixo menor);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf (x_0, y_0) }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Coordenadas do centro O da elipse.

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                 $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier{0}(0,-4)(2.7,-3.7)(3,0)\bezier{0}(3,0)(2.7,3.7)(0,4)\bezier{0}(0,4)(-2.7,3.7)(-3,0)\bezier{0}(0,-4)(-2.7,-3.7)(-3,0)\put(0,-3){\circle*{0.13}}\put(0,3){\circle*{0.13}}\put(0,-4){\circle*{0.13}}\put(0,4){\circle*{0.13}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(-3,0){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0.5,0.5){\LARGE \sf O }\put(-0.8,-4.6){\LARGE \sf A_1 }\put(-0.8,4.2){\LARGE \sf A_2 }\put(-3.8,0.3){\LARGE \sf B_1 }\put(3.6,0.3){\LARGE \sf B_2 }\put(0.6,-3.2){\LARGE \sf F_1 }\put(0.6,2.8){\LARGE \sf F_2 }\put(0,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad~~~} }\put(1.3,-1.1){\LARGE \sf b }\put(-0.6,1.35){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\end{cases} }\put(-1,1.3){\LARGE \sf c }\put(-0.6,-2.15){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\\\end{cases} }\put(-1,-2.3){\LARGE \sf a }\bezier{30}(0,3)(1.5,1.5)(3,0)\put(1.9,1.5){\LARGE \sf a }\put(-4,-7.5){\dashbox{0.1}(8,1.5){\LARGE \sf \overline{A_1A_2} = 2 \cdot a = \overline{F_1P} + \overline{F_2P} }}\put(-3.5,-9.5){\dashbox{0.1}(4,1.5){\LARGE \sf a^2 = b^2 + c^2 }}\put(1.5,-9.5){\dashbox{0.1}(2,1.5){\LARGE \sf e = \dfrac{c}{a} }}\end{picture}$

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                           $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\green{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Nossa primeira conclusão: o centro desta elipse está na origem do plano pois

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(x₀, y₀) = (0 + 0)/2, (1 + (-1))/2)

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(x₀, y₀) = (0/2, 0/2)

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(x₀, y₀) =  (0, 0) ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Nossa segunda conclusão: se o eixo-maior A vale 4 então o semi-eixo maior é:

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a = A ÷ 2

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a= 4 ÷ 2

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a = 2 ✅⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Temos também que a semi-distância focal (c) é igual à (1 - (-1)) / 2 = 1, o que nos permite encontrar b:

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2² = 1² + b²

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b² = 4 - 1

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b = √3✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja, a equação desta elipse é:

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$\Large\blue{\sf \dfrac{(x - 0)^2}{(\sqrt3)^2} + \dfrac{(y - 0)^2}{2^2} = 1}$

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                                       $\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{4}}~\pink{=}~\blue{ 1 }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre elipses:

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https://brainly.com.br/tarefa/46264813 ✈

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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#SPJ1                                           $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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