Question

Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a.

Answer 1

A razão entre os volumes da esfera e do cilíndro é 4√2/3.

Como saber relacionar os volumes de dois sólidos geométricos?

Tanto o cilíndro quanto a esfera são sólidos geométricos, ou seja, objetos tridimensionais que permitem que se deduza uma expressão para seu volume.

A expressão para o volume do cilíndro circular reto (Vc) sendo r seu raio é e h sua altura:

Vc = π.r².h

Como a altura é igual ao diâmetro da base (diâmetro é o dobro do raio), ou seja, duas vezes seu raio, podemos escrever a expressão desse jeito:

Vc  = π.r².2r

A expressão para o volume da esfera (Ve) sendo R seu raio é:

Ve = 4/3.π.R³

Olhando a imagem disponível abaixo observamos que o diâmetro da esfera, o diâmetro do cilíndro e sua altura formam um triângulo retângulo, e através dessa informação e do fato de a altura do cilíndro circular reto ser igual a seu diâmetro, podemos relacionar o raio da esfera e o raio do cilíndro manipulando algebricamente o Teorêma de Pitágoras. Nesta relação, o diâmetro da esfera é a hipotenusa e os catetos são o diâmetro do cilíndro e sua altura. Segue a manipulação algébrica:

(2R)² = (2r)² + (h)² ⇒ h = 2r

(2R)² = (2r²) + (2r)²

4R² = 4r² + 4r²

4R² = 8r²

R² = 8r²/4

R² = 2r²

R = √2r²

R = r√2

A razão entre os volumes da esfera e do cilíndro é dada por:

$\frac{Ve}{Vc} = \frac{\frac{4\pi R^{3} }{3} }{\pi r^{2}.2r }$

Substituindo R por r√2, temos que:

$\frac{Ve}{Vc} = \frac{\frac{4\pi (r\sqrt{2}) ^{3} }{3} }{\pi r^{2}.2r }$

Agora que a razão está em função de apenas um dos raios, podemos resolvê-la simplificando-a ao máximo.

$\frac{Ve}{Vc} = \frac{\frac{4\pi (r\sqrt{2}) ^{3} }{3} }{\pi r^{2}.2r }$

$\frac{Ve}{Vc} =\frac{\frac{4\pi r^{3} (\sqrt{2}) ^{3} }{3} }{2\pi r^{3} }$

$\frac{Ve}{Vc} =\frac{\frac{4\pi r^{3} 2\sqrt{2} }{3} }{2\pi r^{3} }$

Nessa parte, podemos cortar o termo πr³ presente no numerador e denominador, e a expressão fica assim:

$\frac{Ve}{Vc} = \frac{\frac{4.2\sqrt{2} }{3} }{2}$

Simplificando o restante, concluímos que a razão entre os volumes da esfera e do cilíndro é:

$\frac{Ve}{Vc} =\frac{4\sqrt{2} }{3}$

Para saber mais sobre volume de sólidos geométricos, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/4217524

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