Question

Obtenha o módulo e o argumento do número complexo z = 1+i 1−i − 1−i 1+i.

Answer 1

O módulo do número complexo vale 2 e o seu argumento 90º. Podemos determinar tanto o módulo, quanto o argumento, a partir da simplificação do número complexo dado.

Número Complexo

Seja z = a + bi um número complexo. O módulo desse número complexo |z| pode ser calculado por:

$\boxed{|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Além disso, seu argumento pode ser calculado por:

$\boxed{\alpha = arcsec(\dfrac{b}{|z|})} \\\\\\\boxed{\alpha = arccos(\dfrac{a}{|z|})} \\\\\\\boxed{\alpha = arctg(\dfrac{b}{a})}$

Assim, dado o número complexo:

$z = \dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i}$

Sabendo que i² = -1, podemos simplificar o número complexo dado:

$z = \dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i} \\\\\\z = \dfrac{(1+i)(1+i) - (1-i)(1-i))}{ (1-i)(1+i) } \\\\\\z = \dfrac{(1+i)^{2} - (1-i)^{2}}{ (1-i)(1+i) }$

Utilizando os produtos notáveis:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²;
• (a - b)² = a² - 2ab + b²;
• (a + b)(a - b) = a² - b²

Na relação anterior:

$z = \dfrac{(1+i)^{2} - (1-i)^{2}}{ (1-i)(1+i) } \\\\\\z = \dfrac{1+2i+i^{2} - (1-2i+i^{2})}{ 1-i^{2} } \\\\\\z = \dfrac{1+2i+i^{2} - 1+2i-i^{2}}{ 1-i^{2} } \\\\\\z = \dfrac{4i}{ 1-(-1) } \\\\\\z = \dfrac{4i}{ 2 } \\\\\\z = 2i$

Assim, o módulo do número complexo é:

• |z| = √(a² + b²) = √(0² + 2²) = 2

E o argumento do número complexo vale:

• α = arcsen(b / |z|) = arcsen(2 / 2) =  arcsen(1) ⇔ α = 90º

Para saber mais sobre Números Complexos, acesse: brainly.com.br/tarefa/40520255

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ4