Determine o conjunto solução da equação exponencial

Anexos:

Respostas

respondido por: Sban1

O conjunto solução dessa equação exponencial é $-2$ e $-1$

$S=[x \in R| X_1= -2~e~X_2= -1]$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte equação exponencial

$\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-4}=8^{x+2}$}$

Equações exponenciais são equações onde a variável fica no expoente

Antes de começarmos é bom temos em mente a seguinte propriedades da equação exponencial

EXPOENTE NEGATIVO

$\dfrac{1}{A}=A^{-1}$

BASES IGUAIS EXPOENTES DIFERENTES

$A^X=A^Y\Rightarrow X=Y$

POTENCIA SOBRE POTENCIA

$(A^X)^Y=A^{X\cdot Y}$

Com isso mente vamos lá

$\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-4}=8^{x+2}$}$

Seria vantajoso que as bases fossem iguais pois ai poderíamos simplifica-las e podemos torna-las iguais

Pois os dois números são múltiplos de 2

$\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow2^{-1}$}$

$\Large\text{$8\Rightarrow(2\cdot 2\cdot 2)\Rightarrow 2^3$}$

Então podemos reescrever a expressão para a base 2

$\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-4}=8^{x+2}$}\\\\\\\boxed{\Large\text{$\left(2^{-1}\right)^{x^2-4}=(2^3)^{x+2}$}}$

Agora aplicando a propriedade de potencia sobre potencia temos $(A^X)^Y=A^{X\cdot Y}$

$\Large\text{$\left(2^{-1}\right)^{x^2-4}=(2^3)^{x+2}$}$

$\boxed{\Large\text{$\left(2\right)^{-x^2+4}=(2)^{3x+6}$}}$

Agora as duas bases são iguais então podemos simplifica-las

$A^X=A^Y\Rightarrow X=Y$

$\Large\text{$\left(2\right)^{-x^2+4}=(2)^{3x+6}$}\\\\\\\Large\text{$-x^2+4=3x+6$}\\\\\\\Large\text{$-x^2-3x+4-6=0$}\\\\\\\boxed{\Large\text{$-x^2-3x-2=0$}}$

Agora temos uma equação do 2°

$-x^2-3x-2=0\\\\\\A=-1\\B=-3\\C=-2\\\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2a} \\\\\\\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (-2)} }{2\cdot -1}\\\\\\\dfrac{+3\pm\sqrt{9-8} }{-2}\\\\\\\dfrac{+3\pm\sqrt{1} }{-2}\\\\\\\dfrac{+3\pm1 }{-2}\\\\\\X_1=\dfrac{3+1}{-2} \Rightarrow \dfrac{4}{-2} \Rightarrow \boxed{-2}\\\\\\X_2=\dfrac{3-1}{-2} \Rightarrow \dfrac{2}{-2} \Rightarrow \boxed{-1}$