Question

Sem desenvolver nenhum dos determinantes, justifique por que
′ = 8.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Depois de pesquisar, vi que o enunciado na verdade é "D' = 8D".

Lembramos então da seguinte propriedade sobre determinantes:

• Multiplicação de uma fila por uma constante:

"Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por número K, o determinante da nova matriz M' obtida será o produto de K pelo determinante de M, isto é, det M' = K . det M"

Ou seja, por exemplo:

$\left|\begin{array}{cc}2a & 2b \\c & d\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right|$

Ou:

$\left|\begin{array}{ccc}5a & b &c \\5d&e&f\\5g&h&i\end{array}\right| = 5 \left|\begin{array}{ccc}a & b &c \\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|$

Então, se conseguirmos chegar em D' apenas multiplicando as colunas e linhas de D por constantes, conseguiremos achar a relação entre D e D'.

$D=\left|\begin{array}{cccc}x & x^2 &x^3& x^4 \\y & y^2 &y^3& y^4\\z & z^2 &z^3& z^4\\t & t^2 &t^3& t^4\end{array}\right|$

• Multiplicar linha 1 por 2:

$D'=\left|\begin{array}{cccc}2x & 2x^2 &2x^3& 2x^4 \\y & y^2 &y^3& y^4\\z & z^2 &z^3& z^4\\t & t^2 &t^3& t^4\end{array}\right|$

• Multiplicar coluna 1 por 4:

$D'=\left|\begin{array}{cccc}8x & 2x^2 &2x^3& 2x^4 \\4y & y^2 &y^3& y^4\\4z & z^2 &z^3& z^4\\4t & t^2 &t^3& t^4\end{array}\right|$

• Multiplicar colunas 2 e 4 por -1:

$D'=\left|\begin{array}{cccc}8x & -2x^2 &2x^3& -2x^4 \\4y & -y^2 &y^3& -y^4\\4z &- z^2 &z^3&- z^4\\4t &- t^2 &t^3& -t^4\end{array}\right|$

Conseguimos chegar em D' a partir de D multiplicando as filas por: 2, 4, -1, -1, portanto:

$D'=(2\cdot4\cdot(-1)\cdot(-1))D = 8D$