Question

Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a2 - 2b

b) a2 + 2b

c) a2 – 2b2

d) a2 + 2b2

e) a2 – b2

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Answer 1

Realizando os cálculos necessários, podemos afirmar que a alternativa correta é a A) a² - 2b

Podemos resolver a questão utilizando a fórmula de Bhaskara.

Na equação x² + ax + b, os coeficientes são:

• Coeficiente a: 1
• Coeficiente b: a
• Coeficiente c: b

Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Primeiramente devemos calcular o valor de delta, que pode ser determinado utilizando a fórmula:

Δ = b² - 4ac

Substituindo pelos coeficientes:

Δ = a² - 4 . 1 . b

Δ = a² - 4b

A fórmula de Bhaskara é:

-b ± √Δ / 2a

Substituindo pelos coeficientes:

-a ± $\sqrt{a^{2} - 4b}$ / 2 . 1

-a ± $\sqrt{a^{2} - 4b}$ / 2

As raízes da equação são:

$\frac{-a + \sqrt{a^{2} - 4b}}{2}$ (esta será a raiz v)

$\frac{-a - \sqrt{a^{2} - 4b}}{2}$ (esta será a raiz w)

Agora vamos substituir v e w pelos seus respectivos valores na soma v² + w²:

v² + w²

$(\frac{-a + \sqrt{a^{2} - 4b}}{2})^{2}$ + $(\frac{-a - \sqrt{a^{2} - 4b}}{2})^{2}$

$\frac{a^{2}+ a^{2} - 4b }{4} + \frac{a^{2} + a^{2} - 4b}{4}$

$\frac{a^{2}+ a^{2} -4b + a^{2} + a^{2} -4b }{4}$

$\frac{4a^{2} - 8b }{4}$

$\frac{4a^{2} }{4}-\frac{8b}{4}$

a² - 2b

Portanto, a soma b² + w² é igual a a² - 2b, alternativa A.

Espero ter ajudado!