Question

Seja f ( x ) = x 2 com 0 ≤ x ≤ 2 determine o volume do sólido gerado pela revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo y.

Answer 1

O volume do solido gerado pela função $F(x)=X^2$ é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{8\pi }} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que calcular o volume de um solido gerado  pega função $F(x)=x^2$Em torno do eixo Y

• Vou chamar $F(x)$ de Y

Tendo em mente que os valores de  X são $0\leq x\leq 2$, Para calcularmos isso vamos usar nada mais nada menos do que uma INTEGRAL DEFINIDA

• Integral definida foi criada para calcularmos área sobre curvas, mas hoje em dia  usamos elas para outra coisas como calcular  o volume de sólidos

Bem primeiro temos que analisar algumas informações

A questão quer  Volume do solido gerado pelo Eixo Y, só que a função dada está escrita como $Y=X^2$ e para achar o volume do solido no eixo Y precisamos que o X esteja isolado, então basta isolar ele

$Y=X^2\\\\\sqrt{Y}=X\\ \\\boxed{\boxed{X=\sqrt{Y} }}$

A questão também nos disse que $0\leq x\leq 2$, então basta substituirmos X por 0 e depois por 2 para sabermos os limites da nossa integral

• Limite inferior

$X=\sqrt{Y} \\\\0=\sqrt{Y} \\\\0^2=\sqrt{Y} ^2\\\\\boxed{0=Y}$

• Limite superior

$X=\sqrt{Y} \\\\2=\sqrt{Y} \\\\2^2=\sqrt{Y} ^2\\\\\boxed{4=Y}$

Então ja achamos a função que vai girar no eixo Y e ja achamos os limites dela agora basta usamos a Regra do disco

• Regra do disco serva para calcularmos volume de funções

• Formula da regra do disco no eixo Y

     $\boxed{\boxed{\Large \pi \int\limits^a_b {f(y)^2} \, dy }}$

• Também é importante lembrar da integral de uma variável

         $\boxed{\boxed{\Large \int\limits^a_b {y} \, dy=\dfrac{y^2}{2} }}$

Basta substituirmos com o que ja temos

$\Large \pi \int\limits^a_b {f(y)^2} \, dy \\\\\\\Large\text{ \pi \int\limits^4_0 {\left(\sqrt{y}\right) ^2} \, dy }\\\\\\\Large \pi \int\limits^4_0 { y } \, dy$

Aplicando a  integral de uma variável temos

$\Large \pi \cdot \left[\dfrac{y^2}{2}\right]^4_0 \\\\\\\Large \pi \cdot \left(\dfrac{4^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right) \\\\\\\\\Large \pi \cdot \left(\dfrac{16}{2}-0\right) \\\\\\\\\Large \pi \cdot \left(8\right) \\\\\\\Large\text{ \boxed{\boxed{8\pi}} }$

O volume do solido é 8$\pi$

Aprenda mais sobre volumes de sólidos gerados por funções em:

https://brainly.com.br/tarefa/34290997

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