Question

Considere o polinômio cúbico \(p(x)=x^{3} x^{2}-a x-3\), onde a é um número real. Sabendo que r e -r são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é igual a.

Answer 1

Com o estudo sobre relação entre raízes de uma equação e polinômios, temos como resposta que p(1) = -4

Relação entre coeficientes e raízes de uma equação do terceiro grau

Considerando uma equação do terceiro grau ax³+bx²+cx+d=0, cujas raízes são $x_1,x_2,x_3$, podemos proceder de modo similar a equação do segundo grau e assim obter:

$x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}$

$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a}$

$x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}$

Com esse resultado, é possível resolver equações algébricas do terceiro grau. Com isso vamos resolver o exercício. Temos o polinômio $P\left(x\right)=x^3+x^2-ax-3$ cuja as raízes são x, r e -r. A soma das raízes será:

$-\dfrac{b}{a}=x+r-r\rightarrow -\frac{1}{1}=x+r-r\rightarrow x=-1$

• Se – 1 é raiz, então p(-1) =0 :

P(-1) = (-1)³ + (-1)² - a(-1) -3 = 0

P(-1) = -1 + 1 + a -3 = 0

P(-1) = a - 3 = 0

a = 3

• Fazendo P(1), temos:

P(1) = 1³ + 1² - 3(1) - 3

P(1) = 1 + 1 -3 -3

P(1) = -4

Saiba mais sobre polinômio:https://brainly.com.br/tarefa/32522473

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