Question

(ufjf mg/2015) dado o triângulo de vértices a = (1,1), b = (2,3) e c = (4, 2). Considere as seguintes afirmações: i. O triângulo é retângulo. Ii. O ponto médio do segmento de reta que liga.

Answer 1

(ufjf mg/2015) dado o triângulo de vértices a = (1,1), b = (2,3) e c = (4, 2). Considere as seguintes afirmações:

I. O triângulo é retângulo. I

lI. O ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios dos lados AB  e BC  é    $M=\left(\dfrac{9}{4} ,\dfrac{9}{4} \right)$   .

II. A área do triangulo é  5/2 unidades de área

Diante da Análise feita, marque a opção CORRETA:

a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

c) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

d) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

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O triangulo retangulo é aquele que possui um angulo de 90º, que chamamos de angulo reto. A resposta correta para essa questão é a alternativa e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Antes de tudo vamos marcar os pontos A(1,1) , B(2,3)  e  C(4,2)  no plano cartesiano. Depois basta traçar os lados AB, BC e CA.

I. O tringulo é retangulo?

Vamos calular as medidas de cada lado do triangulo utilizando a fórmula para encontrar a distancia entre dois pontos:

Lado AB

$dAB=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2} }\\ \\dAB=\sqrt{1+4 } \\ \\ \boxed{dAB=\sqrt{5} }$

Lado BC

$dBC=\sqrt{(4-2)^{2}+(2-1)^{2} }\\ \\dBC=\sqrt{4+1 } \\ \\ \boxed{dBC=\sqrt{5} }$

Lado CA

$dCA=\sqrt{(4-1)^{2}+(2-1)^{2} }\\ \\dAB=\sqrt{9+1 } \\ \\ \boxed{dAB=\sqrt{10} }$

Como já temos os três lados do triangulo, vamos confirmar se ele se encaixa no Teorema de Pitágoras para saber se ele é um triangulo retangulo:

$a^{2} =b^{2} +c^{2} \\ \\ (\sqrt{10} )^{2}=(\sqrt{5})^{2} +(\sqrt{5})^{2} \\ \\ 10=5+5\\ \\ 10=10$

Portanto, este é um triangulo retangulo.

Afirmativa I - verdadeira

lI. O ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios dos lados AB  e BC  é    $M=\left(\dfrac{9}{4} ,\dfrac{9}{4} \right)$   .

Primeiro vamos traçar os pontos médios que ligam os lados AB.

Para encontrar o ponto médio da reta, vamos considerar:

$x_{m} =\dfrac{x_{a} +x_{b} }{2 } ~~~~e~~~~ y_{m} =\dfrac{y_{a} +y_{b} }{2 }$

Portanto:

Ponto médio de AB                                Ponto médio de BC

A(1,1)  e B(2,3)                                           B(2,3)   e  C(4,2)

[(1+2)/2] + [(1+3)/2]                                     [(2+4)/2] + [(3+2)/2]

(3/2 ; 2)                                                      (3 ; 5/2)

$M_{AB}= \left(\dfrac{3}{2},2 \right)$                                          $M_{BC}= \left(3,\dfrac{5}{2} \right)$

Traçando o segmento definido por esses dois pontos encontraremos os pontos médios que ligam AB e BC.

Então temos:

$\dfrac{\dfrac{3}{2} +3}{2} =\dfrac{9}{4}$                                 $\dfrac{2+\dfrac{5}{2} }{2} =\dfrac{9}{4}$

Afirmativa II  - Verdadeira

III. A área do triangulo é 5/2 unidades de área?

A área do triangulo é dada por (base x altura)/2. No caso do exercício, temos:

$A=\dfrac{b\cdot h}{2} \\ \\ \\ A=\dfrac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5} }{2} \\ \\ \\ \boxed{A=\dfrac{5}{2} ~u.a}$

Afirmativa III - verdadeira

Aprenda mais sobre triangulos em:

https://brainly.com.br/tarefa/14882311

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