Question

fazer a derivada e encontrar pontos criticos

Answer 1

Resposta:

Primeira derivada: $e^{x}(x+1)$

Segunda derivada: $xe^{x} + 2e^{x}$

Ponto crítico: -1

Explicação passo a passo:

Olá!

Calculemos a primeira derivada da função $f(x)=xe^{x}$:

$\frac{d}{dx} x\cdot e^{x}$ =

$x' \cdot e^{x} + x \cdot (e^{x})' =$

$1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} =$

$e^{x} + xe^{x} =$

$e^{x}(x + 1)$

Para encontrar o(s) ponto(s) críticos, temos que igualar a primeira derivada a zero, assim:

$e^{x}(x+1) = 0$

$e^x = 0 \to \nexists$

$(x + 1) = 0$

$x = -1$

Sabemos que há apenas um ponto crítico e este vale ( -1 ). Para completar nossa resposta, vamos calcular a segunda derivada e aplicar o valor de (-1) para descobrirmos se este ponto crítico é um ponto de máximo (caso o resultado seja menor que zero) ou se é um ponto de mínimo (caso o resultado seja maior que zero):

Segunda derivada:

$\frac{d}{dx} e^{x}(x + 1)$ =

$(e^{x})' \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (x + 1)' =$

$e^{x}(x + 1) + e^{x} \cdot 1 =$

$xe^{x} + e^{x} + e^{x} =$

$xe^{x} + 2e^{x}$

Aplicando o valor (-1):

$-1 \cdot e^{-1} + 2 \cdot e^{-1} =$

$-\frac{1}{e} +\frac{2}{e} = \frac{1}{e}$

$\frac{1}{e} > 0$   $\therefore$  Trata-se de ponto de mínimo.

Anexei o gráfico da função para auxiliar na resposta.

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!