Question

Quais são os valores de x que satisfazem equacao biquadrada 2x au quatro -10x au quadrado +8=0

Answer 1

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão que as soluções da equação biquadrada são: S =  { -2, -1, 1, 2 }.

Equação biquadrada é toda aquela que possui a forma:

$\Large \displaystyle \mathsf{ ax^4+bx^2+c=0 }$

Para poder simplificar e transformar a equação do segundo grau basta fazer  x² = y. Podemos escrever $\textstyle \sf \sf x^{4}$ como $\textstyle \sf \sf (x^{2} )^2$.

$\Large \displaystyle \mathsf{ a(x^2)^2+bx^2+c=0 }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2x^{4} -10x^{2} + 8 = 0 } }$

Resolução:

Escrevendo $\textstyle \sf \sf x^{4}$ como ($\textstyle \sf \sf ( x^{2} )^2$ e x² = y,   temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2(x^{2})^2 -10x^{2} + 8 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2y^{2} -10y + 8 = 0 } }$

Determinar o Δ:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = (-10)^2 -\:4\cdot 2 \cdot 8 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 100 -\: 64 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 36 }$

Determinara as raízes de y:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-10) \pm \sqrt{ 36 } }{2\cdot 2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{10 \pm 36}{4} \Rightarrow\begin{cases} \sf y_1 = &\sf \dfrac{10 + 6}{4} = \dfrac{16}{4} = \;4 \\\\ \sf y_2 = &\sf \dfrac{10 - 6}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\end{cases} } }$

Devemos substituir os valores de $\textstyle \sf \sf y_1$ e $\textstyle \sf \sf y_2$  em $\textstyle \sf \sf x^{2} = y$.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = y_1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = 4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \pm \sqrt{4} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x_1 = 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x_2 = -2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = y_2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} =1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \pm \sqrt{1} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x_3 = 1 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x_4 = -1 }$

As soluções da equação biquadrada são:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S = \{ -2, - 1, 1, 2 \} } }$

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