Question

Um triângulo equilátero de lado medindo 6 cm e um retângulo de mesma altura e base com medida 2 cm estão posicionados como mostra a figura 1. A seguir o retângulo começa a se deslocar para a direita, como na figura 2. Seja x a medida representada na figura 3.

a) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 1?

b) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 3?

c) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 4?

Answer 1

Resposta:

Olá boa tarde!

O triângulo é equilátero.

A região desejada (R) é a área do triângulo equilátero (Ae) menos os dois triângulos retângulos à esquerda (Ar1) e à direita (Ar2) da região sombreada.

Área do triângulo equilátero em função da medida do lado:

$Ae=\frac{L^2\sqrt{3} }{4}$

L = 6 cm

$Ae = 9\sqrt{3} \ cm^2$

Devemos determinar base e altura dos dois triângulos retângulos em branco.

Base = cateto adjacente ao ângulo de 60° = x - 3

Altura = cateto oposto ao ângulo de 60° = y

Utilize a função tangente para obter o cateto oposto ao ângulo de 60.

tg 60° = $\sqrt{3}$

y / (x-3) = $\sqrt{3}$

y = $(x-3)\sqrt{3}$

Área Ar1:

$Ar1 = \frac{base\ * \ altura}{2}$

$Ar1 = \frac{(x-3)(x-3)(\sqrt{3}) }{2}$

$Ar1 = \frac{(x-3)^2(\sqrt{3}) }{2}$

Área Ar2:

Faça a mesma coisa de Ar1. Mas neste caso a base é 6 - x

base = 6 - x

altura = z

z / (6-x) = $\sqrt{3}$

y = $(6-x)\sqrt{3}$

$Ar2 = \frac{(6-x)^2(\sqrt{3}) }{2}$

a e b)

Observe que não faz sentido substituir x por 1 nem por 3. x deve ser um valor estritamente maior que a metade do lado, ou seja maior que 3.

c) Substitua x por 4

Determine Ar1 e Ar2.

Ar1 = $\sqrt{3}$ cm²

Ar2 = 2$\sqrt{3}$ cm²

Some Ar1 + Ar2:

Ar1 + Ar2 = 3$\sqrt{3}$ cm²

R = Ae - (Ar1 + Ar2)

R = $9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$

R = $6\sqrt{3}$ cm²

Answer 2

a) A1=√3/2

b) A2=4√3

c) A3=5√3

Inicialmente, vamos calcular a altura do triângulo isóceles que é também a altura do retângulo.

Consideremos o triângulo retângulo ADC (vide anexo), do qual sabemos a medida da hipotenusa = 6cm, e o lado menor AD corresponde à metade da medida da hipotenusa, ou seja, 3cm, logo,

3²+ DC² = 6²

DC²=6²-3²

DC²=36-9

DC²=27

DC=√27=√9*3=3√3

Vamos também calcular a área do triângulo ADC,

At=(AD*DC)/2

At=(3*3√3)/2

At=9√3/2

Agora, iniciamos os cálculos das áreas de interseção dos polígonos, correspontente a cada item,

a) Para X=1, a área comum aos dois polígonos definirá um triângulo semelhante ao triângulo ADC, do qual conhecemos os dados.

Conhecendo o lado menor do triângulo formado pela interseção das duas figuras, podemos calcular o outro lado, usando as relações de semelhança com o triângulo ADC,

$\frac{1}{3} =\frac{x}{3\sqrt{3} } \\x=\frac{3\sqrt{3} }{3} \\x=\sqrt{3}$

Obtidos os valores dos dois lados, podemos calcular a área do triângulo de interseção das duas figuras,

A1=(1*√3)/2

A1=√3/2

b) Para X=3, temos a formação do trapézio DCFE como interseção dos dois polígonos. Porém, como podemos observar, a aresta EF do triângulo do item anterior é a mesma do trapézio ora formado, portanto, já temos os dados para calcular a área A2, desse trapézio,

A2=((B+b)h)/2

A2=((3√3+√3)*2)/2

A2=4√3

c) Para Calcular a área de interseção quando X=4, vamos primeiro calcular a área do triângulo AGH, Semelhante ao triângulo ADC,

Para X=4, temos que AG=2

Pela semelhança de triângulos, podemos calcular o lado GH do triângulo AGH,

AG/AD=GH/DC

2/3=GH/3√3

GH=2*3√3/3

GH=2√3

Calculando a área do triângulo AGH,

At1=(AG*GH)/2

At1=(2*2√3)/2

At1=2√3

É importante observar que o triângulo AGH tem outro semelhante BG'H'. Desta forma, Ao subtrair as áreas desses dois triângulos da área total do triângulo isósceles, teremos a área de interseção dos dois polígonos,

A3=2At-2At1

A3=2*9√3/2-2*2√3

A3=9√3-4√3

A3=5√3

#SPJ4