Question

Simplifique a expressão ((n+1)!+n!)/(n+2)!

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, a expressão dada pode ser simplificada em:
$\boxed{\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{n+1}}$

Vamos entender o porquê?

Para nos ajudar nesta tarefa, temos que entender o que é realmente um fatorial, ou seja, o que realmente significa uma expressão do tipo $n!$.

Quando escrevemos $n!$, queremos dizer:

$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times(n-3)\times...\times3\times2\times1$

Ou seja, a multiplicação de todos os números naturais de n até 1.

Com isto em mente, vamos simplificar a expressão dada.

   $\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=$

$=\dfrac{(n+1)!}{(n+2)!}+\dfrac{n!}{(n+2)!}=$

$=\dfrac{(n+1)!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{----}}{(n+2)\times(n+1)!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{----}}+\dfrac{n!\!\!\!\!\!\!\!{--}}{(n+2)\times(n+1)\times n!\!\!\!\!\!\!\!{--}}=$

$=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{(n+2)\times(n+1)}=$

$=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+2}\times\dfrac{1}{n+1}=$

$=\dfrac{1}{n+2}\times\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)=$

$=\dfrac{1}{n+2}\times\left(\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\right)=$

$=\dfrac{1}{n+2\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;{---}}\times\dfrac{n+2\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;{---}}{n+1}=$

$=\dfrac{1}{n+1}$

Assim, temos que:

$\boxed{\dfrac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{n+1}}$

Podes ver mais exercícios sobre Fatoriais em:

• https://brainly.com.br/tarefa/26027433
• https://brainly.com.br/tarefa/8093181