Question

15-CMRJ-2022
Os centros C, e C de dois circulos, cujos raios medem 4 cm e 2cm, respectivamente, distam 2V3 cm, como pode
ser observado na figura abaixo.

A área da região hachurada na figura, em centimetros quadrados, é igual a

Answer 1

Resposta:

E

Explicação passo a passo:

Vamos calcular a área do triangulo formado pelo diâmetro da circunferência menor e os raios da circunferência maior:

A área de um triangulo é dada por:

$A=\dfrac{b\times h}{2}$

Neste caso temos um triângulo equilátero e sua altura é dada por

$\dfrac{Lado\sqrt{3} }{2}$

$A= > > \dfrac{4\times \frac{4\sqrt{3} }{2} }{2}= \dfrac{4\times2\sqrt{3}}{2}= > \dfrac{4\times2\sqrt{3}}{2}=\boxed{4\sqrt{3}\: cm^2}$

Agora vamos descobrir a área do setor que abrange toda a área hachurada:

Como o ângulo deste setor é 60° graus temos que:

60°=

$\\\dfrac{\frac{\pi }{3} }{2\pi } =\dfrac{x}{16\pi } = > \dfrac{16\pi ^2}{3} =2\pi x\\\\6\pi x=16\pi ^2= > 6x=16\pi \\\\\boxed{x=\dfrac{8}{3}\pi \: cm^2}$

Subtraindo a área do triângulo da área do setor, descobriremos uma área que ao ser somada a metade da área da circunferência menor nos dará o resultado:

$(\dfrac{8\pi }{3} -4\sqrt{3} )+\dfrac{\pi r^2}{2} \\ \\(\dfrac{8\pi }{3} -4\sqrt{3} )+\dfrac{\pi 2^2}{2}\\\\(\dfrac{8\pi }{3} -4\sqrt{3} )+\dfrac{4\pi }{2}\\\\(\dfrac{8\pi }{3} -4\sqrt{3} )+2\pi \\\\\boxed{\boxed{\underbrace{\frac{14\pi }{3} -4\sqrt{3} }}}$