Question

Resolva está equação do segundo grau:
(x-1)/6+4/(x-4)+(x+1)/2=0 sendo x diferente de 4.
Por favor bem explicado.

Answer 1

Usando a noção de equações fracionárias, obtém-se os seguintes resultados:

x1= (7 + i √15)/4

x2= (7 - i √15)/4

A equação fracionária ( tem "x" no denominador ):

$\dfrac{x-1}{6}+\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{x+1}{2}=0$  

É resolvida fazendo com que os denominadores sejam iguais:

• só se pode somar frações quando têm o mesmo denominador

Calcular o m.m.c. ( 6 ; ( x - 4 ) ; 2 )

Decompor em fatores primos estes valores:

$6~ ;~(x - 4)~;~2 ~|~2\\~\\3~;~(x-4)~;~1~|~3\\~\\1~;~(x-4)~;~1~|~(x-4)\\~\\1~;~~~~1~;~~~~~1~fim\\~\\m.m.c~=~2\cdot 3\cdot (x-4)$

Para que os denominadores ficam todos iguais tem de se multiplicar o numerador e o denominador de cada fração, de modo que fiquem todos iguais ao m.m.c :

$=~2\cdot3\cdot(x-4)$

• a primeira fração multiplicar por ( x - 4 )
• a segunda fração por 6
• a terceira fração por  $3\cdot(x-4)$

$\dfrac{(x-1)\cdot (x-4)}{6\cdot(x-4)}+\dfrac{4\cdot6}{(x-4)\cdot6}+\dfrac{(x+1)\cdot 3\cdot (x-4)}{2\cdot3\cdot(x-4)}=0$        

$\dfrac{x^2-4x+4-x}{6\cdot(x-4)}+\dfrac{24}{(x-4)\cdot6}+\dfrac{(3x+3)\cdot (x-4)}{2\cdot3\cdot(x-4)}=0\\~\\\\\dfrac{x^2-5x+4}{6\cdot(x-4)}+\dfrac{24}{(x-4)\cdot6}+\dfrac{3x^2-12x+3x-12}{6\cdot(x-4)}=0$

$\dfrac{x^2-5x+4}{6\cdot(x-4)}+\dfrac{24}{(x-4)\cdot6}+\dfrac{3x^2-12x+3x-12}{6\cdot(x-4)}=0\\~\\\\\dfrac{x^2-5x+4+24+3x^2-12x+3x-12}{6\cdot(x-4)}=0\\~\\\\\dfrac{(1+3)x^2+(-5-12+3)\cdot x+4+24-12}{6\cdot(x-4)}=0\\~\\\\\dfrac{4x^2-14\cdot x+16}{6\cdot(x-4)}=0$

Para que esta fração fique igual a zero, é preciso que o numerador seja igual a zero e o denominador diferente de zero.

Para resolução vai ser usada a Fórmula de Bhaskara

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$    

$a \neq 0~~~~~~a~{;} ~b ~{;}~ c ~\in\mathbb{R}$

$4x^2-14\cdot x+16=0\\~\\a =4~~~~~~b=-14~~~~~~c =16\\~\\\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c=~(-14)^2-4\cdot4\cdot16=196-256=-60\\~\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{-60}=\sqrt{-1\cdot60}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{4\cdot15}=i\cdot \sqrt{4}\cdot\sqrt{15}=2i\sqrt{15}$

$x_{1}=\dfrac{-(-14)+2i\sqrt{15}}{2\cdot4}\\~\\\\x_{1}=\dfrac{14+2i\sqrt{15}}{2\cdot4}\\~\\\\x_{1}=\dfrac{2\cdot(7+i\sqrt{15})}{2\cdot4}$

simplificando o 2 do numerador com o 2 do denominador

$x_{1}=\dfrac{7+i\sqrt{15}}{4}$

A outra raiz apenas difere no sinal antes de "i". Ficará "menos " .      

$x_{2}=\dfrac{7-i\sqrt{15}}{4}$

• As raízes desta equação são estas duas, porque são diferentes de 4, que é o valor que anula o denominador.

Saber mais sobre equações fracionárias, com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/34331818?referrer=searchResults

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Bons estudos.

Att Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação    ( / ) divisão        ( ≠ )   diferente de

$(\mathbb{R})$ conjunto dos números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.