Question

Um Prisma Hexagonal √3 cm² de área da base. Sendo a altura 1/3 da aresta da base calcule a área lateral.

Answer 1

De acordo com a explicação abaixo, a área lateral deste prisma é de  $\dfrac{4}{3}\;cm^2$.

Vamos entender o porquê?

Existem duas grandes formas de determinar a área de um hexágono regular:

• Conhecendo o lado (l) e o apótema (ap):
  $\boxed{A_{H\!ex\'agono}=\dfrac{6\times l\times ap}{2}}$

• Conhecendo apenas o lado (l):
  $\boxed{A_{H\!ex\'agono}=\dfrac{3\sqrt{3}\times l^2}{2}}$

Para esta tarefa, teremos de usar a segunda fórmula, uma vez que não temos qualquer informação sobre o apótema.

Assim, podemos descobrir o lado do hexágono da base, isto é, da aresta (a) da base, da seguinte forma:

    $A_{H\!ex\'agono}=\dfrac{3\sqrt{3}\times a^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sqrt{3}\!\!\!\!\!\!\setminus\ \ =\dfrac{3\sqrt{3}\!\!\!\!\!\!\!\setminus\;\times \,a^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow1=\dfrac{3a^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}=a^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\qquad,\ a > 0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\;cm$

Como em todos os prismas, as faces laterais são retângulos. Por isso, podemos calcular a sua área da seguinte forma:

    $A_{Ret\^angulo}=a\times h\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Ret\^angulo}=a\times\dfrac{a}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Ret\^angulo}=\dfrac{a^2}{3}$

Uma vez que, no passo anterior, antes de determinar o valor da aresta determinámos o quadrado do seu valor, podemos usá-lo diretamente:

    $A_{Ret\^angulo}=\dfrac{a^2}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Ret\^angulo}=\dfrac{\ \dfrac{2}{3}\ }{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Ret\^angulo}=\dfrac{2}{3\times3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Ret\^angulo}=\dfrac{2}{9}\;cm^2$

Por fim, a área lateral pode ser calculada somando as áreas das faces laterais. Como o prisma tem 6 faces laterais,

    $A_{Lateral}=6A_{Ret\^angulo}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Lateral}=6\times\dfrac{2}{9}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Lateral}=\dfrac{12}{9}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Lateral}=\dfrac{4}{3}\;cm^2$

Assim, conclui-se que a área lateral do prisma é de  $\dfrac{4}{3}\;cm^2$.

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