Dado a equação diferencial de primeira ordem y' + 3y = x + e-2x , determine o fator integrante para posterior resolução

Respostas

respondido por: CyberKirito

Após a realização dos cálculos, concluímos que a solução da equação diferencial é

$\sf y=\dfrac{3x-1}{9}+\dfrac{1}{e^{2x}}+\dfrac{k}{e^{3x}}$

Equação diferencial linear

É toda equação que assume a forma $\sf \dfrac{dy}{dx}+p(x) y=q(x)$

Fator integrante

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\mu(x)=e^{\displaystyle\int p(x)dx}\end{array}}$

Vamos a resolução da questão

Aqui iremos encontrar o fator integrante, em seguida multiplicaremos a equação diferencial por este fator e em seguida resolveremos a equação.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y'+3y=x+e^{-2x}\\\sf \dfrac{dy}{dx}+3y=x+e^{-2x}\\\\\sf\mu(x)=e^{\displaystyle\sf\int 3\,dx}=e^{3x}\\\sf \mu(x)\cdot\dfrac{dy}{dx}+\mu (x)\cdot 3y=\mu(x)\cdot(x+e^{-2x})\\\sf e^{3x}\dfrac{dy}{dx}+e^{3x}\cdot 3y=e^{3x}(x+e^{-2x})\\\\\sf\dfrac{d}{dx}(e^{3x}\cdot y)= xe^{3x}+e^x\\\\\sf d(e^{3x}\cdot y)=( xe^{3x}+e^x)dx\end{array}}$

agora vamos integrar os dois lados da equação

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int d(e^{3x})=\int(xe^{3x}+e^x)dx\\\sf y\cdot e^{3x}=\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}+e^x+k\\\\\sf y=\dfrac{1}{3e^{3x}}xe^{3x}-\dfrac{1}{9e^{3x}} e^{3x}+\dfrac{e^x}{e^{3x}}+\dfrac{k}{e^{3x}}\\\\\sf y(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{e^{2x}}+\dfrac{k}{e^{3x}}\end{array}}$