A soma dos quadrados das raizes da equação x²+4x+m=40. A soma dos inversos das raizes é igual a:
Respostas
A soma dos inversos das raízes desta equação é 1/3.
Para realizar este exercício vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.
Encontrando o valor de m
As raízes da equação x² + 4x + m, pela fórmula de Bháskara, são:
Δ = 4² - 4m = 16 - 4m
x = (-4 ± √(16 - 4m)) / 2
Somando os quadrados das raízes (que o enunciado afirma ser igual a 40) obtemos
(x')² + (x'')² = ((-4 + √(16 - 4m)) / 2)² + ((-4 - √(16 - 4m)) / 2)² = 40
(-4 + √(16 - 4m))² / 4 + (-4 - √(16 - 4m))² / 4 = 40
16 - 8*√(16 - 4m) + 16 - 4m + 16 + 8*√(16 - 4m) + 16 - 4m = 40 * 4
16 + 16 + 16 + 16 - 4m - 4m = 160
64 - 8m = 160
8m = -96
m = -96/8 = -12
Desta forma sabemos que as raízes são
- x' = (-4 + √(16 - 4*(-12))) / 2 = (-4 + 8)/2 = 2
- x'' = (-4 - √(16 - 4*(-12))) / 2 = (-4 - 8)/2 = -6
O que nos permite concluir que a soma dos inversos das raízes será igual a
1/2 + (-1/6)
= 3/6 - 1/6
= 2/6
= 1/3
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