Question

Num estacionamento,há 7 vagas paralelas,nas quais Bruna e Clarissa pretendem estacionar seus carros. Entretanto, elas não querem colocar seus veículos em vagas adjacentes. Assim, a quantidade de formas que elas poderão estacionar, segundo as suas vontades, é de :
A) 30 formas
B) 10 formas
C) 5 formas
D) 20 formas
E) 32 formas​

Answer 1

Resposta: Letra A

Neste caso, temos 7 vagas possíveis para serem utilizadas por 2 carros diferentes, sendo que, neste caso, a ordem com que são estacionados configura uma formas diferentes de estacionamento

Desconsiderando o fato de que não é desejado estacionar os carros em vagas adjacentes, teremos A₇,₂ formas de estaciona-los.

$\sf A_{7,2}~=~\dfrac{7!}{(7-2)!}\\\\\\\sf A_{7,2}~=~\dfrac{7!}{5!}\\\\\\\sf A_{7,2}~=~\dfrac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!}\\\\\\\sf A_{7,2}~=~7\cdot 6\\\\\\\boxed{\sf A_{7,2}~=~42~formas}$

No entanto, como não pode ocorrer de os dois carros estares estacionados um ao lado do outro, deveremos descontar de 42 os casos em que isto acontece.

Estando os dois carros juntos, podemos considera-los como um carro apenas ocupando duas vagas, ou seja, teremos agora 6 vagas possíveis para 1 carro (A₆,₁).

$\sf A_{6,1}~=~\dfrac{6!}{(6-1)!}\\\\\\\sf A_{6,1}~=~\dfrac{6!}{5!}\\\\\\\sf A_{6,1}~=~\dfrac{6\cdot 5!}{5!}\\\\\\\boxed{\sf A_{6,1}~=~6~formas}$

Ainda, com os dois carros estando juntos, podemos permuta-los, isto é, podemos ter Carro₁Carro₂ e Carro₂Carro₁. Assim, precisamos multiplicar por 2 estas 6 formas de organiza-los lado a lado.

$\sf Carros~lado~a~lado~=~6\cdot 2\\\\\boxed{\sf \sf Carros~lado~a~lado~=~12~formas}$

Agora sim, descontando estas 12 formas de organizarmos os dois carros lado a lado das 42 formas possíveis de organiza-los nas 7 vagas, temos:

$\sf Total~de~Formas~=~42~-~12\\\\\boxed{\sf Total~de~Formas~=~30~formas}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$