Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento,
ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la,
dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros.
Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras
e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode
revestir a passarela?
Respostas
Resposta:
Explicação passo a passo:
1º.Caso: Nenhuma pedra de dimensão 1X2. Nesse caso, só há 1 maneira de revestir a passarela: pondo todas as pedras de dimensão1
2º.Caso: Uma pedra de dimensão 1X2. Nesse caso, como uma pedra de dimensão 1X2 corresponde a duas pedras de dimensão 1X1 , precisamos preencher nove espaços es- colhendo onde dispor a pedra de dimensão 1X2. O número de maneiras que isso pode ser feito é(9/1)=9
3º.caso: Duas pedras de dimensão1X2. Nesse caso, como duas pedras de dimensão 1X2 correspondem a quatro pedras de dimensão 1X1 , precisamos preencher oito espaços es- colhendo onde dispor as duas pedras de dimensão 1X2 . O número demaneiras que isso pode ser feito é: (8/2)=28
.4º.caso: Três pedras de dimensão 1X2. Nesse caso, como três pedras de dimensão1X2 correspondem a seis pedras de dimensão1X1, precisamos preencher sete espaços escolhendo onde dispor as três pedras de dimensão 1X2 . O número de maneiras que isso pode ser feito é(7/3)=35.
5º.caso: Quatro pedras de dimensão 1X2. Repetindo o mesmo argumento usado nos casos anteriores, vemos que o número de maneiras de construir a passarela nesse caso é: (6/4)=15
6º.caso: Cinco pedras de dimensão 1X2. Mais 1 maneira de construção.Diante disso, a passarela pode ser revetida pelo 1+9+28+35+15+1=89 maneiras.
Um engenheiro está projetando uma passarela de 10 metros de comprimento, temos então que para essa passarela existem 89 maneiras em que se é possível revestir a passarela.
Engenheiro e Passarela
Para conseguir calcular o total de maneiras em que o engenheiro pode construir a passarela, vamos visualizar essa passarela como sendo um retângulo subdividido em dez quadrados, ou seja dimensão 1x1, uma linha com dez quadrados.
Utilizando de análise combinatória temos a fórmula para combinação como sendo:
Onde,
- número total de elementos
- número de elementos de cada grupo
Podemos então separar em 6 casos:
- 1° caso: Sem pedras de dimensão 1x2, temos aqui apenas 1 maneira de revestir a passarela: pondo todas as pedras de dimensão 1x1.
- 2° caso: Com apenas uma pedra de dimensão 1x2, que corresponde a duas pedras de dimensão 1x1, precisamos então preencher nove espaços escolhendo onde dispor a pedra de dimensão 1x2, sendo então:
Tendo então 9 maneiras nesse caso.
- 3° caso: duas pedras de dimensão 1x2, que são quatro pedrasd de dimensão 1x1, ou seja temos então oito espaços para serem preenchidos mais as duas pedras de dimensão 1x2:
Tendo então 28 maneiras nesse caso.
- 4° caso: três pedras de dimensão 1x2, que correspondem a seis pedras de dimensão 1x1 , são então sete espaços escolhendo onde dispor as três pedras de dimensão 1x2, ou seja:
Tendo então 35 maneiras nesse caso.
- 5° caso: quatro pedras de dimensão 1x2, seis pedras de dimensão 1x1, então são 6 espaçoes a se preencher com 4 pedras de dimensão 1x2:
Tendo então 15 maneiras nesse caso.
- 6° caso: 5 pedras de dimensão 1x2, aqui temos novamente apenas 1 maneira.
Somando então todas as maneiras possíveis temos: 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89, sendo assim existem 89 maneiras em que o engenheiro pode revestir a passarela.
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