Question

Utilizando a regra de derivação, calcule y': (VEJA O ANEXO)

Answer 1

Bom dia Carossi!


Solução!


Antes de resolver a derivada vamos escrever algumas identidades trigonométricas para melhor entender a resolução do exercício.


$Secante(x)= \dfrac{1}{cos(x)}\\\\\\ Tangente(x)= \dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}$


Temos uma derivada do quociente,para resolve-la vamos empregar essa formula.


$y= \dfrac{(v\times u')-(u\times v')}{(v)}$



$y=\left ( \dfrac{ln x^{2} }{Cos2x} \right ) =\left ( \dfrac{u}{v} \right)\\\\\\\\\\ u=(ln x^{2})~~~~~~~~v=(Cos2x)\\\\ u'= \dfrac{2lnx}{x}~~~~~~~~~~~~~v'=(-2seno2x)$



Agora vamos substituir esses dados acima na formula.


$y=\left ( \dfrac{ln x^{2} }{Cos2x} \right ) \\\\\\\\\\\ y'= \dfrac{(cos 2x)\times ( \dfrac{2lnx}{x} )-(ln x^{2} )\times( -2seno2x)}{(cos2x) ^{2} }\\\\\\\\\\ y'= \dfrac{(cos 2x)\times ( \dfrac{2lnx}{x} )+(ln x^{2} )\times(2seno2x)}{(cos2x) ^{2} }$


$y'= \dfrac{(cos2x)\times (2lnx)}{x(cos2x)^{2} }+ \dfrac{ln x^{2} \times(2seno2x)}{(cos2x)^{2} }\\\\\\\\\\ y'= \dfrac{(cos2x)\times (2lnx)}{x(cos2x)^{2} }+ \dfrac{2ln x^{2} \times1}{cos2x}\times \dfrac{seno2x}{cos2x}$


$y'= \dfrac{ (2lnx)\times(1)}{x(cos2x) }+ \dfrac{2ln x^{2} \times1}{cos2x}\times \dfrac{seno2x}{cos2x}$




Feito isso vamos substituir as identidades trigonométrica na derivada e finalizar o exercício .


$y'= \dfrac{ (2lnx)\times(1)}{x(cos2x) }+ \dfrac{2ln x^{2} \times1}{cos2x}\times \dfrac{seno2x}{cos2x} \\\\\\\\\\ y'= \dfrac{ (2lnx)\times sec(2x)}{x }+ 2ln x^{2} \times sec(2x)\times tangente(2x)$



$\boxed{Resposta: y'= \dfrac{ (2lnx)\times sec(2x)}{x }+ 2ln x^{2} \times sec(2x)\times tangente(2x)}$


Bom dia!

Bons estudos!