Question

A extremidade superior de um fio de aço de 3,80 m de extensão é presa ao teto, e um objeto de 54,0 kg é suspenso pela ponta inferior do fio. Você observa que um pulso leva 0,0492s para se deslocar de baixo para cima pelo fio. Qual é a massa do fio? Considere g = 10m/s2

Answer 1

A massa do fio é de 344 gramas.

• Explicação:

O pulso nada mais é do que uma onda que se propaga pela corda em questão. Uma onda é caracterizada por transferir apenas energia ao longo de seu deslocamento, apenas.

A velocidade de propagação de uma onda (no caso das ondas mecânicas) depende do meio em que elas se encontram. Em uma corda(ou fio), por exemplo, a velocidade de propagação de uma onda pode ser calculada através da seguinte relação:

$\fbox{ v=\sqrt{\frac{T}{{\mu}}} }$

Onde T é a tensão aplicada à corda e μ é a densidade linear da corda.

A densidade linear (μ), por sua vez, é calculada da seguinte maneira:

$\fbox{ \mu = \frac{m}{L} }$

Onde m é a massa total da corda e L é o comprimento total de propagação da corda.

Podemos encontrar a velocidade do pulso usando os conhecimentos de cinemática. A velocidade é descrita como:

$v = \frac{ds}{dt}\\\\v = \frac{L}{t}\\\\\fbox{ v = \frac{3,80}{0,0492}\approx 77,24 m/s }$

Vale lembrar que a unidade de velocidade, no S.I, é dada em metros por segundo. Para isso, as medidas de deslocamento e tempo deve ser, respectivamente, metro e segundo.

Como o enunciado nos informa que um objeto de 54 kg de massa esta suspenso no fio em uma de suas extremidades, podemos concluir que a força de tensão aplicada no fio é igual à força peso do bloco, visto que o fio permanece fixo, em uma das extremidades, ao teto.

Sabendo disso temos que:

$T = P\\\\T = m_{Bloco}\cdot g$

Substituindo na fórmula da velocidade de propagação da onda:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\\\\\\v^2=\frac{T}{\mu}\\\\\\v^2\cdot \mu =T\\\\\\v^2\cdot \frac{m_{fio}}{L}=m_{Bloco}\cdot g\\\\\\m_{fio}}=\frac{(m_{Bloco}\cdot g)}{v^2}\cdot L\\\\\\m_{fio}}=\frac{(54\cdot 10)}{(77,24)^2}\cdot 3,8\\\\\\m_{fio}}=\frac{540}{5966,0176}\cdot 3,8\\\\\\m_{fio}}\approx 0,344 kg$

$\fbox{ m_{fio} = 344 g }$

A massa do fio é de 344 gramas.