Question

Um menino chuta uma bola de uma superfície plana, de modo
que a trajetória do objeto se aproxima de uma parábola.
Modelando tal trajetória por uma função matemática que se
adeque a situação, encontrado que os pontos
(4,0),(0, −8) (8, −24) são pontos pertencentes ao
gráfico dessa tal função. Dessa forma, o eixo das ordenadas
como a altura atingida pela bola, determinar a altura máxima
que a bola atinge durante todo seu trajeto.
A) 1
B) 3
C) 0
D) 8
E) 10

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a altura máxima que a bola atingiu durante a trajetória foi:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf H_{M} = 1\:u.\:c.\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:A\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                  $\Large\begin{cases} A (4, 0)\\B(0, -8)\\C(8,-24)\end{cases}$

Pelo enunciado sabemos que a trajetória foi modelada por uma função matemática cujo gráfico é uma parábola. Neste caso, a função é do segundo grau, ou seja:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = ax^{2} + bx + c,\:\:\:\:\forall a\neq0\end{gathered}$

Se:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = y \Longrightarrow y = ax^{2} + bx + c\end{gathered}$

Invertendo os membros sem perda alguma de generalidades, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} ax^{2} + bx + c = y\end{gathered}$

Se a parábola passa pelos pontos "A", "B" e "C", então podemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:

          $\Large\begin{cases} a\cdot4^{2} + b\cdot4 + c = 0\\a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c = -8\\a\cdot8^{2} + b\cdot8 + c = -24\end{cases}$

Organizando e simplificando este sistema, temos:

             $\Large\begin{cases} 16a + 4b + c = 0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bf I\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:c = -8\:\:\:\:\:\bf II\\64a + 8b + c = -24\:\:\:\bf III\end{cases}$

Inserindo o valor de "c" nas equações "I" e "III", temos:

 $\Large\begin{cases} 16a + 4b - 8 = 0\\64a + 8b - 8 = -24\end{cases}\Longrightarrow\Large\begin{cases}16a + 4b = 8\:\:\:\:\:\:\:\bf IV\\64a + 8b = -16\:\:\:\bf V \end{cases}$

Isolando o valor de "b" na equação "IV", temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} b = \frac{8 - 16a}{4} = 2 - 4a\end{gathered}$

Inserindo o valor de "b"  na equação "V", temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 64a + 8\cdot(2 - 4a) = -16\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 64a + 16 - 32a = -16\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 64a - 32a = -16 - 16\end{gathered}$

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 32a = -32\end{gathered}$

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = -\frac{32}{32}\end{gathered}$

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = -1\end{gathered}$

Calculando o valor de "b", temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} b = 2 - 4a = 2 - 4\cdot(-1) = 2 + 4 = 6\end{gathered}$

Portanto, os coeficientes da referida função são:

                               $\Large\begin{cases} a = -1\\b = 6\\c = -8\end{cases}$

Desta forma a função procurada é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -x^{2} + 6x - 8 \end{gathered}$

Se queremos calcular a altura máxima "Hm" da bola, então, devemos calcular a ordenada do vértice da parábola, ou seja:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} H_{M} = Y_{V}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{\Delta}{4a}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = -\frac{(b^{2} - 4ac)}{4a}\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = -\frac{(6^{2} - 4\cdot(-1)\cdot(-8))}{4\cdot(-1)}\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{(36 - 32)}{-4}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-4}{-4}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$

✅ Portanto, a altura máxima é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} H_{M} = 1\:u.\:c.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$