Question

4) Se a-b= 8 e log₂ (a + b) = 4 então o valor de log₂ (a² - b²) é igual a:

a) 2
b) 4
c) 5
b) 7
e) 8​

Answer 1

Resposta: alternativa D)

Para resolver esse problema, devemos lembrar alguns conceitos de log e de produto notável. Em particular, utilizaremos a regra de produto notável de diferença entre quadrados.

$\fbox{ a^2-b^2 = (a-b)\cdot(a+b) }$

Relembrando alguns conceitos de log, temos:

$\fbox{ \log_b a = c } \quad \longleftrightarrow \quad \fbox{ b^c = a }$

$\fbox{ \log_b (x\cdot y) = \log_b x + \log_b y }$

Vamos agora iniciar o problema. Temos, inicialmente, que:

$\rightarrow a-b = 8\\\\\rightarrow \log_2 (a+b)= 4$

Queremos calcular:

$\log_2 (a^2-b^2)\\\\\rightarrow \ (a^2-b^2) = (a-b)\cdot(a+b)\\\\\\\fbox{ log_2 (a^2-b^2) }=\log_2 [(a-b)\cdot(a+b)] = \fbox{ \log_2(a-b) + \log_2 (a+b) }$

Substituindo os valores, temos:

$log_2 (a^2-b^2) = \log_2 (8) + (4)\\\\\\\log_2 8 =x \quad \longleftrightarrow \quad 2^x = 8\\\\ 2^x = 2^3 \\\\\fbox{ x = 3 }\\\\\Downarrow\\\\ \fbox{ \log_2 8 = 3 }\\\\\\\\\\\fbox{ log_2(a^2-b^2) = 3+4 = 7 }$

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf{a - b = 8}$

$\sf{log_2\:(a + b) = 4 \iff a+ b = 2^4 = 16}$

$\sf{log_2\:(a^2 - b^2) = log_2\:(a + b)\:.\:(a - b)}$

$\sf{log_2\:(a^2 - b^2) = log_2\:16\:.\:8}$

$\sf{log_2\:(a^2 - b^2) = log_2\:128}$

$\sf{log_2\:(a^2 - b^2) = log_2\:2^7}$

$\boxed{\boxed{\sf{log_2\:(a^2 - b^2) = 7}}}\leftarrow\textsf{letra D}$