Question

resolva, em R, a seguinte inequação: (x + 2) . ( - 1/2 + 3x) > 0​

Answer 1

$(x+2)(-\cfrac{1}{2} + 3x) > 0\\\\-\cfrac{(x+2)}{2} + 3x(x+2) > 0\\\\2(-\cfrac{(x+2)}{2} + 3x(x+2)) > 2 \cdot 0\\\\-(x+2) + 6x(x+2) > 0\\\\-x -2 + 6x^2 + 12x > 0\\6x^2+ 11x - 2 > 0$

Bhaskara para descobrir as raízes da função:

$\cfrac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)} }{2 \cdot 6} \\\\= \cfrac{-11 \pm \sqrt{121 + 48} }{12}\\\\= \cfrac{-11 \pm \sqrt{169} }{12}\\\\= \cfrac{-11 \pm 13}{12}\\\\x_1 = \cfrac{-11 + 13}{12} = \cfrac{2}{12} = \cfrac{1}{6} \\\\x_2 = \cfrac{-11 - 13}{12} = \cfrac{-24}{12} = -2$

Como o coeficiente $a$ da função (neste caso, 6) é positivo, a parábola da função tem sua concavidade para cima. Como as raízes da função são o cruzamento com o eixo x, e a concavidade está para cima, os valores de x entre as raízes resultarão em f(x) negativo. Como f(x) tem que ser maior que 0, x deve ser menor que -2 e maior que 1/6.
$x > \cfrac{1}{6}$

ou

$x < -2$