3) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 3) e B(4, 5).

Respostas

respondido por: rtgave

Resposta: 3.x -2.y + 1 = 0 (forma geral) ou y = (3/2).x + 1/2 (forma reduzida)

Explicação passo a passo:

A partir da forma reduzida da reta, e com os pontos dados, temos:

y = m.x +b (*)

Etapa 1 - Usando o ponto A(1, 3) em (*):

3 = m.1 + b (**)

Etapa 2 - Usando o ponto B(4, 5) em (*):

5 = m.4 + b (***)

Temos o seguinte sistema de equações com as incógnitas m e b:

3 = m.1 + b (**)

5 = m.4 + b (***)

Resolvendo o sistema:

(***) - (**) ⇒ 5 - 3 = m.4 - m.1 ⇒ 2 = m.3 ⇒ m = 3/2

Substituindo em (**) (ou em (***)):

3 = (3/2).1 + b ⇒ b = 3 - 3/2 = 1/2

Assim:

y = m.x +b ⇒ y = (3/2).x + 1/2

Reorganizando para a forma geral, temos:

A.x + B.y + C = 0 ⇒ 3.x -2.y + 1 = 0

respondido por: solkarped

✅ Após ter finalizado os cálculos, concluímos que a equação geral da reta que passa pelos referidos pontos do plano cartesiano é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: -2x + 3y - 7 = 0 \:\:\:}}\end{gathered}$}$

Obtendo a equação da reta a partir de dois pontos.

Sejam os pontos:

$\Large\begin{cases} A(1, 3)\\B(4, 5)\end{cases}$

Se estamos querendo obter a equação geral da reta que passa por esses pontos, devemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Desenvolvendo a equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = \tan\theta\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Como "P" é qualquer ponto genérico pertencente à reta, então podemos substituir o ponto "P" pelo ponto "A" ou pelo ponto "B". Para fins didáticos, vou substituir o ponto genérico "P" pelo ponto "A". Então temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Substituindo as coordenadas dos pontos "A" e "B" na equação "III", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 3 = \frac{5 - 3}{4 - 1}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 3 = \frac{2}{3}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 3 = \frac{2x}{3} - \frac{2}{3}\end{gathered}$}$