No triângulo ABC da figura, O ponto D está sobre o lado AC e o ponto E está sobre o lado BC, de modo que EC=DE=BD AB. O ângulo ACB mede 20º
1- Mostre que o triângulo ABD é equilátero
2-Calcule a medida do ângulo AED

Anexos:

Respostas

respondido por: matcany

Resposta:

1) Todos os ângulos internos do triângulo ABD são congruentes.

2) O ângulo AED mede 10º.

Explicação passo a passo:

Triângulo equilátero é aquele que possui os três lados iguais (congruentes), e consequentemente, três ângulos iguais. É isso que precisamos mostrar sobre o triângulo ABD.

O triângulo isósceles é aquele que possui dois lados iguais. O terceiro lado é chamado de base, e os ângulos que a base forma com cada um dos lados iguais são congruentes.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus.

Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua soma é igual a um ângulo raso, ou seja, quando a soma das suas amplitudes é de 180 graus.

1) Vamos analisar primeiro o triângulo DEC, destacado na figura 1. Se trata de um triângulo isósceles, pois EC = DE. Então os ângulos formados pela base e cada um dos lados iguais são congruentes.

Como já sabemos que o ângulo ACB mede 20º, logo o ângulo CDE também mede 20º. Tendo a medida dos dois ângulos podemos descobrir a medida do terceiro ângulo ( DEC ), neste caso é também chamado de ângulo do vértice. A soma de todos eles deve ser igual a 180º:

180 = DEC + 20 + 20

DEC = 180 - 40

DEC = 140º

Agora vamos observar o triângulo DBE, destacado na figura 2.

Também se trata de um triângulo isósceles, pois sabemos que DE = BD.

Como já descobrimos acima, a medida do ângulo DEC = 140º, então se traçarmos seu ângulo suplementar, teremos a medida do ângulo DEB.

180 = 140 + DEB

DEB = 180 - 140

DEB = 40º

Se encontramos a medida do ângulo DEB, considerando que o triângulo é isósceles, também temos que o ângulo DBE = 40º. Usando o mesmo método que usamos antes, podemos calcular o ângulo do vértice (BDE):

180 = 40 + 40 + BDE

BDE = 180 - 80

BDE = 100º

Também traçando o ângulo suplementar ADB, temos que seu valor é 60º, pois já conhecemos os valores dos ângulos BDE e CDE:

BDE + CDE + ADB = 180

100 + 20 + ADB = 180

ADB = 180 - 100 - 20

ADB = 60º

Agora, no triângulo ABD, destacado na figura 3, sabemos que os lados BD e AB são iguais. Sendo assim, o ângulo ADB é igual ao ângulo BAD, como já temos os dois ângulos, podemos calcular o terceiro:

ADB + BAD + ABD = 180

60 + 60 + ABD = 180

ABD = 180 - 60 - 60

ABD = 60º

Como temos que os três ângulos do triângulo ABD são congruentes, logo seus lados também são. Então o triângulo ABD é equilátero.

2) Como já foi calculado anteriormente, temos que o ângulo ADE = 160º (figura 4).

Já sabemos que o triângulo ABD é equilátero, então fica fácil deduzir que o lado DE = AD, já que:

AD = DB = AB e

DE = BD

Logo, DE = AD

Então o triângulo ADE é isósceles, e já temos a medida do ângulo vértice = 160. Os dois outros ângulos devem ser iguais:

180 = ADE + 2 . ∡