Question

Dois lados de um paralelogramo estão contidos nas retas r: 3x e s: 2x+5. Um dos vértices desse paralelogramo é o ponto A (4,11). Determine os outros vértices do paralelogramo.

Answer 1

A equação de uma reta é dada por y = mx+q, onde m é o coeficiente angular. Se duas retas possuem o m igual, podemos dizer que elas são paralelas.

y = 3x → m = 3
y = 2x+5 → m = 2

Logo, podemos perceber que as retas não são paralelas, logo, estão em lados diferentes do paralelogramo e se encontram. Para saber o ponto que se encontram, basta igualar as equações:

3x = 2x+5
3x-2x = 5
x = 5

y = 3x
y = 3(5)
y = 15

Logo, um dos vértices é (5, 15).

Como (4,11) não pertence à nenhuma das retas, o vértice é oposto à (5,15).

Agora imagine, poderemos montar duas retas, já que as duas são paralelas com 3x e 2x+5, depois faremos a intersecção e acharemos os outros vértices.

Lado paralelo à 3x (tendo como base o ponto (4,11))
y-y0 = m(x-x0)
y-11 = 3(x-4)
y-11 = 3x-12
y = 3x-1

Este lado se encontra com 2x+5, que é oposto:
3x-1 = 2x+5
x = 6

Logo, o ponto é (6,17)

Lado paralelo à 2x+5:
y-y0 = m(x-x0)
y-11 = 2(x-4)
y-11 = 2x-8
y = 2x+3

Este lado se encontra com 3x:

3x = 2x+3
x = 3

Logo, o ponto é (3,9)

Assim, os vértices do paralelogramo são (4,11), (5,15), (6,17) e (3,9).