Question

(CS-UFG/2019 - adaptada) A população de um determinado país vem decrescendo em relação ao tempo t, dado em anos, segundo a função P(t) = A.2 Bt, onde A é o valor da população em t=0 e B é uma constante. Sabe-se que, depois de 32 anos, a população foi reduzida à metade da população inicial. Qual é o valor da constante B?

a.
–1/2.

b.
–1/4.

c.
–1/8.

d.
–1/16.

e.
–1/32.

Answer 1

Vamos là.

P(t) = A * 2^(Bt)

P(0) = A

P(32) = A * 2^(32B)

A/2 = A * 2^(32B)

1/2 = 2^(32B)

2^-1 = 2^(32B)

mesma base exponentes iguais

32B = -1

B = -1/32 (alternativa E)

Answer 2

Considerando a função exponencial que descreve a população, quando aplicamos a função logaritmo, conseguimos obter um valor para a constante B igual a -1/32. Desta forma, a letra correta é a letra E.

Função Logaritmo

Podemos descrever como a função matemática que está baseada nas propriedades da potenciação e exponenciação.

Como podemos resolver o problema?

Para resolver iremos primeiro entender dois pontos, sendo eles dados por:

• População inicial igual a A
• População reduzida pela metade igual a A/2

Resolvendo a questão

Iremos substituir o valor de t = 32 na equação, e em seguida aplicamos a função log no dois lados, da seguinte forma:

$P(t) = A.2^{ Bt}\\\\ P(32) = A.2^{ 32B}\\\\\frac{A}{2} =A.2^{ 32B}\\\\log (\frac{A}{2}) = log(A.2^{ 32B})\\\\log A - log 2 = log A + log 2^{ 32B}\\\\log A- log A-log 2 = 32B.log 2\\\\-log 2 = 32B.log\\\\\frac{-log 2}{log2} = 32B\\\\-1 = 32B\\\\B = \frac{-1}{32}$

Portanto, a constante B da função, tem o valor igual a -1/32.

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