Question

1) Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3,7) e B(1,4) b) E(3,1) e F(3,5) c) H(-2,-5) e O(0,0)
2) Demonstre que o triângulo com os vértices A(0,5), B(3,-2) e C(-3,-2) é isósceles e calcule
seu perímetro.
3) Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A(-1,6) e B(-5,4) b) A(-1,-7) e B(3,-5) c) A(-4,-2) e B(-2,-4)
4) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2,-2). Sabendo que M(3,-2) é o
ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x,y),que é a outra
extremidade do segmento.
5 )Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com eixo
das abscissas.
6) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,4) e tem coeficiente angular 2.
7) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2).
8)Dados os pontos A(2,4), B(8,5) e C(5,9). Pede-se:
a) A distância entre os pontos A e C.
b) Um equação de reta que passa por A e B.
c) Considere os A, B e C como vértice de um triângulo. Calcule as coordenadas do
baricentro e também o perímetro para esse triângulo.
9) Os pontos A(- 5, 2) e C(3, - 4) são extremidades de uma diagonal de um quadrado. Qual o
perímetro desse quadrado?
10) Escreva uma equação da reta que passa pelo ponto(1, -6) e tem inclinação de 60° com o
eixo das abcissas.

Answer 1

Após analisar as questões, relacionadas à pontos no plano cartesiano, concluímos que as respostas para as questões são:

1) a) D = √3 ; b) D = 4 ; c) √29

2) DAB = DAC = √58 , e portanto é isósceles

3) a) M(-3,5) ; b) M(2,-6) ; c) (-3,-3)

4) Ponto B(8,-2)

5) y = x - 2

6) y = 2x + 6

7) y = 2x/3 - 4/3

8) a) d = √34 ; b) y = x/6 - 11/3 ; c) Baricentro G = (5,6)

9) P = √34 + √37 + 5

10) y = x√3 - √3 - 6

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos é dada por: $D=\sqrt{(x_{b} -x_{a} )^{2}+(y_{b} -y_{a} )^{2} }$,onde podemos considerar os pontos $(x_{a},y_{a} )~~ e~~ (x_{b},y_{b} )$ .

Portanto, podemos resolver a questão 1 da seguinte forma:

• Questão 1)

a)  A(3,7) e B(1,4)

$D=\sqrt{(x_{b} -x_{a} )^{2}+(y_{b} -y_{a} )^{2} }\\ \\ D=\sqrt{(1 -3 )^{2}+(4-7)^{2} }~~~\to ~~~\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}} ~~~\to~~~\sqrt{4+9} ~~~\to~~~\boxed{D=\sqrt{13} }$

b) E(3,1) e F(3,5)

$D=\sqrt{(x_{b} -x_{a} )^{2}+(y_{b} -y_{a} )^{2} }\\ \\ D=\sqrt{(3-3 )^{2}+(5-1)^{2} }~~~\to ~~~\sqrt{0^{2}+4^{2}} ~~~\to~~~\sqrt{16} ~~~\to~~~\boxed{D=4 }$

c) H(-2,-5) e O(0,0)

$D=\sqrt{(x_{b} -x_{a} )^{2}+(y_{b} -y_{a} )^{2} }\\ \\ D=\sqrt{(0 -(-2) )^{2}+(0-(-5))^{2} }~~~\to ~~~\sqrt{2^{2}+5^{2}} ~~~\to~~~\sqrt{4+25} ~~~\to~~~\boxed{D=\sqrt{29} }$

Triângulo isósceles

Portanto, para provar que o triângulo dado pelos vértices A(0,5), B(3,-2) e C(-3,-2) é isósceles, vamos mostrar DAB = DAC, e portanto, é isósceles.

• Questão 2)

DAB = √(3-0)²+(-2 - 5)²                             DAC = √(-3-0)² + (-2-5)²

DAB = √9 + 49                                          DAC = √9+49

DAB = √58                                                DAC = √58

CB = √(-3-3)² + (-2+2)²

DCB = √36 = 6

DAB = DAC = √58  e portanto é isósceles.

O perímetro será:

P = √58 + √58 + 6

P = 2√58 + 6

P = 2(√58 + 3)

Determinar o ponto médio das extremidades

O ponto médio de um segmento é dado por $(x_{m},y_{m})$, onde:  $x_{m}=\dfrac{x_{p}+x_{q} }{2}$     e   $y_{m}=\dfrac{y_{p}+y_{q} }{2}$.

• Questão 3)

a) A(-1,6) e B(-5,4)

xm = (-1-5)/2 =  - 6/2  = - 3

ym = (6+4)/2  =  10/2  = 5

Ponto médio → M(-3,5)

b) A(1,-7) e B(3,-5)

xm = (1+3)/2 = 4/2 = 2

ym=(-7-5)/2 = -12/2= -6

Ponto médio → M(2,-6)

c) A(-4,-2) e B(-2,-4)

xm = (-4-2)/2 = -6/2 = -3

ym=(-2-4)/2 = -6/2= -3

Ponto médio → M(-3,-3)

Determinar o ponto B(x,y) a partir do ponto médio e da outra extremidade

Já vimos que o ponto médio é o ponto que divide o segmento em duas partes. Para encontrar o ponto B(x,y) a partir da outra extremidade A(-2,-2) e do ponto médio M(3,-2), temos que considerar que dobro do ponto médio será igual à soma de A + B, ou seja:

• Questão 4

2M = A + B

2 · (3, -2) = (-2,-2) + B

(6, -4) = (-2,-2) + B

B = (6, -4) - (-2,-2)

B = (6 - (-2), -4 - (-2))

B = (6 + 2, -4 + 2)

B = (8, -2)

E portanto a outra extremidade do segmento é o ponto B(8,-2).

Equação da reta através do ângulo e tem inclinação de 45°

O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação. A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente.

Portanto, temos:

• Questão 5

tgα = m

m = tg45º

m = 1

Equação reduzida da reta:

y = mx + n

A(4,2)

2 = 1 · 4 + n

n = 2 - 4

n = - 2

A equação reduzida da reta é y = x - 2.

A equação da reta a partir de um ponto determinado e o coeficiente angular

Na questão 6, como o coeficiente angular já foi dado, basta substituir o ponto definido e o coeficiente m = 2 na fórmula equação da reta.

• Questão 6

Ponto A(-1, 4)   e coeficiente  m = 2

y - y₀ =  m · (x - x₀)

y - 4 = 2  · (x - (-1))

y - 4 = 2  · (x + 1)

y - 4 = 2x + 2

y = 2x + 2 + 4

y = 2x + 6

A equação da reta procurada é y = 2x + 6.

A equação da reta a partir de dois pontos

Na questão 7 vamos primeiro encontrar o valor de m e depois inserir um dos pontos na equação da reta já com o valor de m.

• Questão 7

A(-1,-2) e B(5,2)

m = (y - y₀)/(x - x₀)  

m = (2-(-2))/(5-(-1))

m = (2 + 2)/(5 + 1)

m= 4/6

m = 2/3

• Questão 8

a)

d² = (5 - 2)² + (9 - 4)²

d² = 3² + 5²

d² = 9 + 25

d² = 34

d = √34

b)

m = (y - y₀)/(x - x₀)  

m = (5 - 4)/(8 - 2)

m = 1/6

y - (-4) =  (1/6) • (x - 2)

y + 4 = x/6 - 2/6

y + 4 = x/6 - 1/3

y = x/6 - 1/3 - 4

y = x/6 - 11/3

c)

3G = (2,4) + (8,5) + (5,9)

3G = (15,18)

G = (5,6)

Para perímetro precisamos calcular as distâncias entre A e B, B e C, já que a distância entre A e C já foi calculada.

Perímetro:

P = √34 + √((8 - 2)² + (5 - 4)²) + √((5 - 8)² + (9 - 5)²)

P = √34 + √37 + 5

Diagonal

A diagonal de um quadrado é dada por por d = l√2

• Questão 9

Calculando a distância entre A e C, obtemos:

d² = (3 + 5)² + (-4 - 2)²

d² = 8² + (-6)²

d² = 64 + 36

d² = 100

d = 10

Como d = l√2, temos:

10 = l√2

l = 10/√2

l = 5√2

O perímetro será:

P = √34 + √((8 - 2)² + (5 - 4)²) + √((5 - 8)² + (9 - 5)²)

P = √34 + √37 + 5

• Questão 10

Ponto (1,-6)

tgα = m

m = tg60º

m = √3

Equação da reta:

y - (-6) = √3 × (x - 1)

y + 6 = x√3 - √3

y = x√3 - √3 - 6

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